Masalah keputusan yang mudah, masalah pencarian yang sulit

Memutuskan apakah kesetimbangan Nash ada mudah (selalu terjadi); Namun, sebenarnya menemukan satu diyakini sulit (itu PPAD-Lengkap).

Apa saja contoh masalah lain di mana versi keputusannya mudah tetapi versi pencariannya relatif sulit (dibandingkan dengan versi keputusan)?

Saya akan sangat tertarik pada masalah di mana versi keputusan non-trival (tidak seperti halnya dengan kesetimbangan Nash).

Diberikan bilangan bulat, apakah ia memiliki faktor non-sepele? -> Non-sepele dalam P.

Diberikan bilangan bulat, cari faktor non-sepele, jika ada -> Tidak diketahui berada di FP.

Berikut adalah contoh lain: Diberikan grafik kubik G dan siklus hamiltonian H di G, temukan siklus hamiltonian berbeda dalam G. Siklus seperti itu ada (oleh teorema Smith) tetapi, sejauh yang saya tahu, terbuka apakah itu bisa dihitung dalam waktu polinomial.

Jika Anda memberikan "kelonggaran" berikut yang sama dengan yang Anda lakukan untuk Nash equilibria, maka:

• Faktorisasi bilangan bulat, di mana masalah keputusannya adalah "Apakah ada representasi faktorisasi bilangan bulat ini?" (sepele, ya), dan masalah pencarian adalah untuk mengeluarkannya

Sejumlah masalah kisi bisa masuk akal di sini dengan jenis tunjangan murah hati yang sama untuk mendefinisikan masalah keputusan:

• Shortest Vector Problem (SVP) - putuskan apakah ada vektor terpendek vs menemukannya
• Closest Vector Problem (CVP) - memutuskan apakah ada vektor terdekat vs menemukannya

Tentu saja, ini semua adalah kasus di mana versi keputusan yang saya sebutkan tidak terlalu menarik (karena ini kasusnya sepele). Satu masalah yang tidak sepele :

• Grafik Planar -warna untuk k ≥ $k$$k \ge 4$

Masalah keputusan planar graph 4-colorability adalah dalam P. Tetapi mendapatkan solusi leksikografis pertama tersebut adalah NP-hard ( Khuller / Vazirani ).

Perhatikan bahwa properti yang benar-benar Anda minati adalah reducibilitas diri sendiri (atau lebih tepatnya, reducibilitas diri sendiri). Dalam masalah pewarnaan grafik planar, masalah penting adalah bahwa metode pengurangan sendiri kasus umum colorability akan menghancurkan planaritas dalam grafik.$k$

Mari , grafik acak pada 1 , ... , n , di mana setiap tepi adalah independen hadir dengan probabilitas 1 / 2 . Pilih n 1 / 3 simpul dari G seragam secara acak dan menambahkan semua tepi antara mereka; panggilan grafik yang dihasilkan H . Kemudian H memiliki sebuah klik dari ukuran n 1 / 3 .$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

Masalah pencarian: temukan klik ukuran setidaknya .$10\log n$

Satu lagi contoh; The Subset-jumlah kesetaraan: Mengingat bilangan dengan Σ n 1 a i < 2 n - 1 . Prinsip merpati-lubang menjamin adanya dua himpunan bagian I , J di 1 , 2 , . . . , n sedemikian rupa sehingga ∑ i ∈ I a i$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$$\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$$I, J$${1,2,..., n}$ (karena lebih banyak himpunan bagian dari jumlah yang mungkin). Keberadaan algoritma waktu polinomial untuk menemukan set I dan J adalah masalah terbuka yang terkenal.$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$$I$$J$

Kesetaraan subset-jumlah (versi pigeonhole)

Contoh teori bilangan lain, mirip dengan yang di atas. Diketahui oleh postulat Bertrand bahwa untuk setiap bilangan bulat positif , ada bilangan prima antara n dan 2 n . Tetapi kami tidak memiliki algoritma waktu polinomial saat ini untuk menemukan yang prima, mengingat n . (Algoritma yang diinginkan harus dijalankan dalam waktu polylog ( n ).) Seseorang dapat dengan mudah menghasilkan algoritma acak waktu polinomial karena teorema bilangan prima , dan seseorang dapat memisahkannya dengan mengasumsikan beberapa dugaan teori bilangan standar (seperti dugaan Cramer$n$$n$$2n$$n$$n$), tetapi tidak ada algoritma deterministik waktu polinomial tanpa syarat yang diketahui. Pekerjaan terkait baru-baru ini dilakukan dalam proyek Polymath4 ; Posting blog Tao di proyek ini adalah ringkasan yang bagus.

Dengan risiko sedikit di luar topik, izinkan saya memberikan contoh sederhana dan alami dari sebuah teori C jawaban: siklus Euler dan algoritma terdistribusi.

Masalah keputusan tidak sepenuhnya sepele, dalam arti ada grafik Euler dan non-Euler.

Namun demikian, algoritma terdistribusi cepat dan sederhana yang memecahkan masalah keputusan (dalam arti bahwa untuk instance-ya semua node menghasilkan "1" dan untuk tidak ada instance setidaknya satu node menghasilkan "0"): setiap node hanya memeriksa paritas derajatnya sendiri dan output 0 atau 1 sesuai.

$\Omega(n)$$O(n)$

$O(1)$$\Theta(n)$

Sunting: Ini secara implisit mengasumsikan bahwa grafik terhubung (atau, ekuivalen, bahwa kita ingin menemukan siklus Euler di setiap komponen yang terhubung).

Menemukan partisi Tverberg adalah kompleksitas yang tidak diketahui:

$x_1,x_2,\dots, x_m$$R^d$$m \ge (r-1)(d+1)+1$$S_1,S_2,\dots, S_r$${1,2,\dots,m}$$\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Seperti dengan Nash equilibria, partisi dijamin oleh teorema, tetapi tidak diketahui apakah ada algoritma polytime untuk menemukannya.

Gil Kalai menulis serangkaian posting yang luar biasa tentang topik ini: Satu , Dua dan Tiga .

Dalam semua contoh di atas masalah keputusan adalah di P dan masalah pencarian tidak diketahui berada di P tetapi juga tidak diketahui sebagai NP-hard. Saya ingin menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk memiliki masalah pencarian NP-hard yang versi keputusannya mudah.

$R_1,\ldots,R_k$$\{0,1\}$

$R_1,\ldots,R_k$$R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$$k = 1$). Setelah masalah kepuasan terpecahkan dalam waktu polinomial, pertanyaan apakah ada tugas yang memuaskan minimal secara leksikografis adalah sepele.

Lihat Akibat wajar 13 dan contoh berikut di koran di atas (setidaknya di ini versi on-line).

• $k$$k$
• Versi pencarian adalah NP -hard: Menemukan jumlah grafik tanpa jalur yang diinduksi dengan lima simpul; karena untuk ini kertas .

$e$$e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$$e$

$e$$(g, h, g^a, h^b)$$a = b$$e (g, h^b) = e (h, g^a)$

Kelompok semacam itu juga digeneralisasi menjadi "kelompok gap".

Saya kira Planar Perfect Matching terlewatkan dari daftar ini.

• $\mathsf{NC}$
• $\mathsf{NC}$

Mari kita sedikit kompleksitasnya.

Banyak masalah keputusan tentang sistem penambahan vektor (VAS) sudah lengkap EXPSPACE, tetapi mungkin membutuhkan saksi yang jauh lebih besar. Sebagai contoh, memutuskan apakah bahasa VAS adalah regular adalah EXPSPACE-complete (eg Blockelet & Schmitz, 2011 ), tetapi otomat kondisi-ekivalen terkecil terkecil mungkin berukuran Ackermannian ( Valk & Vidal-Naquet, 1981 ). Penjelasan di balik kesenjangan yang besar ini adalah bahwa terdapat saksi yang jauh lebih kecil dari non -regularity.