Kompleksitas komunikasi untuk menemukan elemen umum dari dua himpunan bagian

8

Misalkan Alice menerima himpunan bagian dan Bob menerima . Dijanjikan bahwa . Apa kompleksitas komunikasi acak untuk menentukan elemen umum ? $S \subseteq \{1,\dots,n\}$ $T \subseteq \{1,\dots,n\}$ $\lvert S \cap T \rvert = 1$ $S \cap T$

Ketertarikan saya pada ini adalah sebagai berikut. Biaya-komunikasi nol dari masalah ini adalah sejak Alice dan Bob hanya bisa menebak menggunakan koin publik dan batalkan jika mereka salah menebak. Namun, saya tidak bisa memikirkan protokol komunikasi biaya . Karena tidak diketahui apakah biaya komunikasi nol jauh lebih rendah daripada biaya komunikasi acak, saya berpikir bahwa saya kehilangan sesuatu yang jelas di sini. $\log n$ $S \cap T$ $O(\log n)$

Biaya komunikasi nol didefinisikan sebagai berikut. Setelah Alice dan Bob menerima input mereka, mereka tidak boleh berkomunikasi sama sekali. Namun, mereka berbagi koin publik, dan mereka diizinkan untuk menjawab dengan "batalkan". Jika tidak dibatalkan pihak, mereka harus memberikan jawaban yang benar dengan probabilitas. Biaya nol komunikasi adalah log negatif dari kemungkinan tidak dibatalkan. Dalam arxiv: 1204.1505 ditunjukkan (antara lain) bahwa hampir semua batas bawah yang diketahui pada kompleksitas komunikasi sebenarnya batas bawah untuk nol-komunikasi. $2/3$

Pembaruan: @Shitikanth menunjukkan bahwa kompleksitas komunikasi adalah . Jadi, ternyata ini memberikan celah antara biaya komunikasi dan biaya komunikasi nol. Tetapi arxiv: 1204.1505 tampaknya memberi kesan bahwa tidak ada celah seperti itu yang diketahui. Apa yang saya lewatkan? $\Omega(n)$

communication-complexity

— Dan Stahlke
sumber

1

S \cap T

$S\cap T$

1

i \in {1, \dots, n}

$i \in \{1,\dots,n\}$

i \notin S

$i \not\in S$

i \notin T

$i \not\in T$

i

$i$

2^{- O (n)}

$2^{-O(n)}$

\log n

$\log n$

5

(Pengurangan dari set disjointness)

$S, T \subseteq [n]$ $|S\cap T| \leq 1$ $S$ $T$ $X$ $X$ $S$ $T$ $O(\log n)$

$S$ $T$ $\Omega(n)$

— Shitikanth
sumber

Ya tentu saja terima kasih! Saya tahu jawabannya harus melibatkan keterputusan, tetapi saya tidak bisa melihatnya. Meskipun, sebelum menutup pertanyaan saya ingin melihat apakah ada yang berkomentar tentang kesenjangan yang jelas antara komunikasi dan biaya komunikasi nol.

— Dan Stahlke

Saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan biaya komunikasi nol. Bisakah Anda memberikan tautan atau referensi?

— Shitikanth

Saya memperbarui pertanyaan dengan tautan ke sebuah makalah dan juga akan memberikan definisi untuk biaya ZC.

— Dan Stahlke

S \cap T

$S \cap T$

| S \cap T | = 1

$\lvert S \cap T \rvert = 1$

| S \cap T | > 1

$\lvert S \cap T \rvert > 1$

2

Ω (n)

$\Omega(n)$

1

E Q (s_{1}, t_{1}) \lor E Q (s_{2}, t_{2}) \lor \dots \lor E Q (s_{n}, t_{n}) .

$EQ(s_1,t_1)\lor EQ(s_2,t_2)\lor \dots \lor EQ(s_n,t_n).$

x_{1} y_{1} \lor x_{2} y_{2} \lor \dots \lor x_{n} y_{n} .

$x_1y_1\lor x_2y_2\lor\dots\lor x_ny_n.$ Kompleksitas komunikasi dari kedua masalah tersebut setara, karena kesetaraan dapat dilakukan dengan biaya komunikasi acak yang konstan.

$i$ $s_i=t_i$ $IP$ $IP$ $IP$ $\Theta(n)$

Saya harap ini membantu.

— Philippe Lamontagne
sumber

-3

Protokol tercepat yang bisa saya pikirkan adalah bertukar alternatif sepasang elemen yang berdekatan secara acak, membuang hal-hal yang terlewati.

Alice [1,10,26,49,50] Bob [2,3,25,49,51]

Pasangan yang berdekatan dengan Alice adalah [10,26] sehingga Bob membuang 25

Alice [1,49,50] Bob [2,3,49,51]

Pasangan Bob yang berdekatan adalah [3,49] yang cocok dengan 49 sehingga berhenti

— Chad Brewbaker
sumber