Batas bawah pada ukuran interval maksimum yang diinduksi subgraf grafik

Misalkan adalah subgraph interval maksimum yang diinduksi dari grafik . Jika， Lalu berapakah jumlah terkecil ? $H$ $G=(V,E)$ $n=|V|$ $V(H)$

Jumlahnya paling banyak： pertimbangkan seperangkat lubang terpisah. $3n/4$ $4$

Bisakah ini lebih kecil?

reference-request extremal-combinatorics interval-graphs

— Yixin Cao
sumber

Saya pikir jawabannya adalah $\Theta(\log n)$ dan buktinya sama dengan bukti klasik Ramsey-theorem. Di satu sisi, Anda selalu memiliki teks lengkap atau kosong dengan banyak simpul ini. Di sisi lain, grafik acak tidak akan memiliki diinduksi besar $C_4$ -gratis subgraph. Untuk yang terakhir ini, terikat jumlah subgraphs diinduksi pada $t$ simpul oleh $n^t$ dan untuk setiap terikat probabilitas menjadi $C_4$ -gratis oleh $c^{t^2}$ di mana $c<1$ adalah beberapa konstan. Ini bisa kita lakukan karena grafik lengkap pada $t$ simpul berisi $\Omega(t^2)$ memisahkan $K_4$ .

Secara lebih rinci, bagi sisi yang mungkin di antara simpul apa pun menjadi klik-klik terpisah dari empat simpul. Dalam klik empat simpul seperti itu, probabilitas bahwa ujung-ujungnya tidak akan membentuk adalah konstan . Oleh karena itu probabilitas bahwa tidak akan ada di salah satu klik adalah . Ini jelas merupakan batas atas untuk grafik acak menjadi -gratis. $t\choose 2$ $t$ $\Omega(t^2)$ $C_4$ $p<1$ $C_4$ $p^{\Omega(t^2)}$ $C_4$

— domotorp
sumber

Bagus! Bisakah Anda menguraikan? Saya sudah mencoba pendekatan ini tetapi alat probabilistik saya agak berkarat.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Bagian mana? Buktinya mengikuti langkah demi langkah bukti Erdos yang terkenal: en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_method#First_example

— domotorp

Bagian di mana kita harus mengikat probabilitas subgraph pada simpul menjadi -gratis; khususnya, saya tidak tahu bagaimana mengikat ini dengan . Saya juga tidak mengerti hubungan antara kalimat terakhir dan kalimat terakhir kedua.

H

$H$

t

$t$

C_{4}

$C_4$

c^{t^{2}}

$c^{t^2}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Ah, ujungnya terpisah 4-klik. Kamu benar. Terima kasih untuk penjelasannya! @Yixin: Saya pikir domotorp memiliki jawaban yang jauh lebih baik. Anda harus menerima miliknya, bukan milik saya.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Kita dapat melakukan ; pertimbangkan grafik lengkap , selama ada dua pihak yang keduanya memiliki lebih dari satu node di dalam ada diinduksi , jadi tidak bisa inteval. Karena itu kita harus menghapus setidaknya node untuk menghancurkan semua diinduksi . $2\sqrt{n}-1$ $\sqrt{n}$ $C_4$ $(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$ $C_4$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
sumber

Bagus! Bisakah kita melangkah lebih jauh untuk menunjukkan ini adalah batas bawah? Itu benar-benar terlihat satu. PS Saya akan menandai ini sebagai jawaban jika tidak ada jawaban yang lebih baik muncul.

— Yixin Cao