Kompleksitas komunikasi untuk memutuskan asosiatif

Misalkan { 0 , . . . , N - 1 } dan ∘ : S × S → S . Saya ingin menghitung kompleksitas komunikasi untuk memutuskan apakah ∘ asosiatif.$S=$$0,...,n-1$$\circ : S \times S \rightarrow S$$\circ$

Modelnya adalah sebagai berikut. diberikan sebagai matriks M . Alice (resp. Bob) diberikan setengah dari entri matriks secara acak (sama untuk Bob). Saya ingin menghitung jumlah entri terburuk yang harus dikirim Alice kepada Bob sehingga Bob dapat memutuskan asosiatifitas ∘ .$\circ$$M$$\circ$

Bahkan, itu adalah sederhana untuk mengurangi masalah memutuskan kesamaan dua string bit ukuran untuk masalah memutuskan associativity dari ∘ lebih S . Ini berarti bahwa kompleksitas komunikasi dari associativity lebih rendah dibatasi oleh Ω ( n ) . Namun, saya curiga bahwa LB ini tidak ketat. Didefinisikan pada input ukuran n 2 , saya lebih suka menemukan kompleksitas komunikasi Ω ( n 2 ) .$\Omega(n)$$\circ$$S$$\Omega(n)$$n^{2}$$\Omega(n^{2})$

Apakah ada hasil yang diketahui tentang masalah ini? Apakah jawabannya adalah untuk alasan yang jelas saya tidak melihat?$n^{2}$

$n^{n^2}$$S$$n$$f(t)$