Transformasi kelanjutan dari fungsi biner

Ingat transformasi passing lanjutan (transformasi CPS) yang membawa $A$ ke $\beta A \mathrel{{:}{=}} R^{R^A}$ (di mana $R$ adalah tetap) dan $f : A \to B$ ke $\beta f : \beta A \to \beta B$ didefinisikan oleh Sebenarnya kita memilikikelanjutan monaddengan satuan didefinisikan oleh

β f κ r : = κ (r \circ f) .

$\beta \, f \, \kappa \, r \mathrel{{:}{=}} \kappa (r \circ f).$

η_{A} : A \to β A

$\eta_A : A \to \beta A$

dan perkalian

didefinisikan oleh

η_{A} x : = λ r . r x

$\eta_A x \mathrel{{:}{=}} \lambda r . r \, x$

μ_{A} : β (β A) \to β A

$\mu_A : \beta (\beta A) \to \beta A$

μ_{A} K r : = K (λ f . f r) .

$\mu_A \, K \, r \mathrel{{:}{=}} K (\lambda f . f \, r).$

Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana kita dapat mengubah peta biner , yaitu, kita ingin $f : A \to B \to C$ . Seseorang dengan cepat menghasilkan $\gamma f : \beta A \to \beta B \to \beta C$ Ini masuk akal dari sudut pandang pemrograman juga.

γ f κ ν r : = κ (λ x . β (f x) ν r) .

$\gamma \, f \, \kappa \, \nu \, r \mathrel{{:}{=}} \kappa (\lambda x . \beta (f x) \nu r).$

Inilah pertanyaan saya: apakah ada alasan yang lebih dalam untuk , selain fakta bahwa itu terlihat benar dari sudut pandang pemrograman? Misalnya, apakah ada alasan kategori-teoretis atau "teoretis" lainnya untuk berpikir seperti itu $\gamma$ masuk akal? Misalnya, bisakah kita memasak dari monad secara sistematis? $\gamma$ $\gamma$

Saya mencari wawasan tentang transformasi CPS fungsi -ary. $n$

— Andrej Bauer
sumber

Apakah Anda mencari sesuatu di luar Haskell liftM2atau generalisasi Applicative? Anda dapat memperoleh versi n-ary dari apa yang Anda gambarkan (dalam bahasa yang memungkinkan Anda berbicara tentang fungsi polimorfik n-ary) langsung dari struktur aplikasi lanjutan.

— copumpkin

Saya tahu bagaimana menulis generalisasi ini, saya ingin tahu mengapa mereka seperti itu. Ahli teori kategori akan mengerti apa yang saya tanyakan.

— Andrej Bauer

Hmm, terima kasih sudah menunjukkan Applicative. Memiliki liftA2yang saya

, lihat hackage.haskell.org/packages/archive/base/4.2.0.0/doc/html/...

γ

$\gamma$

— Andrej Bauer

Ya, liftA2adalah bagian dari apa yang saya sarankan. Gagasan "idiom bracket" ( (| f x y z ... |)diterjemahkan pure f <*> x <*> y <*> z <*> ...dari) Applicativesepertinya cara sistematis untuk mendapatkan bentuk n-ary dari pertanyaan Anda. Saya tahu CT, tetapi sepertinya paling sederhana untuk membicarakannya dalam istilah pemrograman standar. Jika Anda belum pernah menemukan Applicativesebelumnya, Anda mungkin ingin melihat fungsi-fungsi monoid longgar (meskipun pernyataan Haskell tentang itu <*>melibatkan eksponensial juga). Lagi pula, saya tidak punya jawaban untuk Anda tetapi berusaha untuk lebih memahami apa yang Anda

— maksudkan

Tesis PhD Hayo Thielecke adalah tentang struktur kategorikal CPS. Mungkin jawabannya ada di sana atau di publikasi lainnya. cs.bham.ac.uk/~hxt/research/hayo-thielecke-publications.shtml

— Dave Clarke

~~A * ~~B |- ~~(A * B)

\neg \neg A \otimes \neg \neg B ⟶ \neg \neg (A \otimes B)

$\neg\neg A \otimes \neg\neg B \longrightarrow \neg\neg(A \otimes B)$

$\kappa\wedge$ $\epsilon$

— Noam Zeilberger
sumber

Menambah jawaban Noam:

$f : A \to B \to C$ $uncurry( f) : A \times B \to C$ $T$ $dblstr : T A \times T B \to T (A\times B)$ .

$T A \times T B \xrightarrow {dblstr} T(A\times B) \xrightarrow{uncurry(f)} TC$

Jika kami instantiate ini ke kelanjutan monad, kami mendapatkan konstruksi Anda.

$n$ -variables, berikut ini harus berfungsi (saya tidak memeriksa semua detail melalui).

$\pi$ $n$ $\pi$ $str_{\pi} : T A_1 \times \cdots \times T A_n \to T(A_1 \times \cdots \times A_n)$ . (The monad laws should guarantee that it doesn't matter how we associate this permutation.) Therefore, for every $n$ -ary morphism $f : A_1 \times \cdots \times A_n \to C$ , we can construct: $\gamma f : TA_1 \times \cdots \times TA_n \xrightarrow{str_{\pi}} T(A_1 \times \cdots \times A_n) \xrightarrow{Tf} TC$ .

But I still don't think this really gives you the answer you're looking for...

— Ohad Kammar
sumber