Contoh Matematika “Tidak Terkait” yang Memainkan Peran Mendasar dalam TCS?

Harap sebutkan contoh-contoh di mana teorema dari matematika yang biasanya tidak dianggap berlaku dalam ilmu komputer pertama kali digunakan untuk membuktikan hasil dalam ilmu komputer. Contoh terbaik adalah mereka yang hubungannya tidak jelas, tetapi begitu ditemukan, itu jelas "cara yang tepat" untuk melakukannya.

Ini adalah arah yang berlawanan dari pertanyaan Aplikasi TCS ke matematika klasik?

Sebagai contoh, lihat "Teorema Green dan Isolasi dalam Grafik Planar" , di mana teorema isolasi (yang sudah dikenal menggunakan bukti teknis) terbukti kembali menggunakan Teorema Green dari kalkulus multivariat.

Apa contoh lain yang ada?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit dan Fotios Zaharoglou mendapatkan hadiah Godel pada tahun 2004 untuk penggunaan topologi aljabar dalam studi beberapa masalah dalam komputasi terdistribusi.

Saya punya contoh dari sebuah karya yang saya tulis bersama Noga Alon dan Muli Safra beberapa tahun yang lalu:

Noga menggunakan teorema titik tetap aljabar tetap untuk membuktikan "Teorema Pembelah Kalung": jika Anda memiliki kalung dengan manik-manik jenis t dan Anda ingin membagi bagian-bagiannya di antara b orang sehingga masing-masing mendapat jumlah manik-manik yang sama dari masing-masing jenis ( anggap b membagi t), Anda selalu dapat melakukannya dengan memotong kalung di paling banyak (b-1) tempat.

Kami menggunakan teorema ini untuk membangun objek kombinatorial yang kami gunakan untuk membuktikan kekerasan dari Set-Cover.

Beberapa info lebih lanjut ada di sini: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Dalam retrospeksi, ini mungkin jelas, tetapi saya selalu menyukai aplikasi Steele, Yao, dan Ben-Or untuk teorema Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom (membatasi jumlah Betti set semi-aljabar nyata) untuk membuktikan lebih rendah batas dalam pohon keputusan aljabar dan model perhitungan komputasi aljabar.

Salah satu hasil favorit saya adalah penggunaan argumen topologis dalam bukti Lovasz tentang dugaan Kneser , dan penggunaan metode topologis ( dan teori kelompok ) dalam serangan Kahn-Saks-Sturtevant pada dugaan kuat Aandera-Rosenberg-Karp tentang penghindaran. .

Teori representasi kelompok hingga digunakan dalam pendekatan Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans untuk perkalian matriks . Mereka menunjukkan bahwa jika keluarga produk karangan bunga abelian dengan kelompok simetris memenuhi kondisi tertentu ada, maka ada algoritma perkalian matriks kompleksitas kuadratik.

Teori representasi (dari kelompok aljabar) juga muncul dalam pendekatan teori kompleksitas geometris Mulmuley dan Sohoni pada batas bawah. Belum jelas apakah ini dianggap sebagai aplikasi, karena tidak ada hasil kompleksitas baru yang telah dibuktikan dengan pendekatan ini, tetapi setidaknya koneksi yang menarik telah dibuat antara dua area yang pada awalnya memerah tampak sama sekali tidak berhubungan.

$IP = PSPACE$

Teori aproksimasi (yang berurusan dengan aproksimasi fungsi rumit yang mungkin rumit atau tidak wajar dengan fungsi sederhana, seperti polinomial tingkat rendah) telah banyak digunakan dalam kompleksitas Sirkuit, kompleksitas kueri kompleksitas, Pseudorandomness dll.

Saya pikir salah satu aplikasi paling keren alat dari daerah ini berasal dari ini kertas Beigel, Reingold, dan Spielman, di mana mereka menunjukkan bahwa PP kelas kompleksitas ditutup di bawah persimpangan dengan menggunakan fakta bahwa fungsi tanda dapat didekati dengan rendah Fungsi rasional -degree.

Nisan dan Szegedy dan Paturi menunjukkan batas bawah untuk mendekati fungsi simetris oleh polinomial derajat rendah. Metode ini sering digunakan dalam membuktikan kompleksitas kuantum Quantum batas bawah. Lihat catatan kuliah Scott Aaronson , misalnya.

Gagasan lain yang indah: Gagasan Yao untuk menggunakan prinsip-prinsip minimum dan bukti bahwa game campuran memiliki keseimbangan (pada dasarnya dualitas pemrograman linier) untuk menunjukkan batas yang lebih rendah pada algoritma acak (dengan cara membangun distribusi melalui input ke algoritma deterministik).

Teorema titik tetap ada di semua tempat ...

$n$$O(\log n!)$perbandingan, ya). Bukti dari fakta ini berjalan melalui geometri polytopes dimensi tinggi. Secara khusus, buktinya menggunakan ketidaksetaraan Brunn-Minkowski. Presentasi yang baik mengenai hal ini ada dalam buku Matousek tentang Lectures on Discrete Geometry (Bagian 12.3). Bukti asli adalah oleh Kahn dan Linial, dari sini .

Ada banyak kegunaan teori informasi dalam ilmu komputer teoretis: misalnya, dalam membuktikan batas bawah untuk kode yang dapat didekode secara lokal (lihat Katz dan Trevisan), dalam bukti Raz tentang teorema pengulangan paralel, dalam kompleksitas komunikasi (lihat, misalnya, utas pekerjaan kompresi komunikasi, misalnya, karya Barak, Braverman, Chen dan Rao yang relatif baru, dan referensi di sana), dan masih banyak lagi pekerjaan lainnya.

Alon dan Naor menggunakan ketidaksamaan Grothendieck untuk membuktikan algoritma perkiraan pada masalah max-cut . Saya pikir ada karya-karya berikutnya tentang topik itu, tetapi saya bukan ahli.

Menariknya, teorema yang sama digunakan oleh Cleve, Hoyer, Toner dan Watrous untuk menganalisis game XOR kuantum, dan Linial dan Shraibman menggunakannya untuk kompleksitas komunikasi kuantum. Setahu saya, hubungan antara ketimpangan Grothendieck dan dasar fisika kuantum ditemukan oleh Tsirelson pada 85, tetapi dua hasil yang saya sebutkan secara khusus membahas ilmu komputer.

Contoh yang bagus adalah teorema Barrington:

$f$$d$$f$$4^d$ .

$S_5$

Steker Shameless: penggunaan dugaan Isotropik (dan geometri cembung pada umumnya) dalam mendesain mekanisme privat diferensial yang optimal untuk pertanyaan linear dalam pekerjaan saya dengan Moritz Hardt .

Untuk menjawab sebagian pertanyaan Suresh di atas, saya pikir pertanyaan asli agak rumit karena "tidak biasanya dianggap berlaku dalam ilmu komputer". Beberapa teknik ini yang awalnya tampak "tidak berhubungan" menjadi "normal" seiring waktu. Jadi teknik yang paling sukses (mis. Analisis Fourier di Kahn-Kalai-Linial, metric embeddings di Linial-London-Rabinovich) bukan jawaban yang valid lagi.

Teori kombinatorik / angka tambahan banyak digunakan dalam literatur ekstraktor. Saya pikir contoh pertama datang dari memperhatikan bahwa grafik Paley dapat digunakan sebagai ekstraktor yang baik, dan beberapa pertanyaan terbuka dalam teori bilangan aditif akan menyiratkan yang lebih baik. Referensi paling awal yang saya tahu adalah Zuckerman 1990 (lihat tesisnya ), tetapi dalam beberapa tahun terakhir ini telah menjadi area aktif dengan bolak-balik yang menarik antara TCS dan kombinatorik aditif. (Salah satu yang menonjol adalah bukti Dvir tentang dugaan bidang terbatas Kakeya, tapi ini tentu saja merupakan kontribusi TCS untuk matematika dan bukan sebaliknya.) A-priori tidak jelas mengapa pertanyaan matematika semacam ini, tentang jumlah dan produk set, akan menjadi penting untuk CS.

Sleator, Tarjan dan Thurston membuktikan keberadaan keluarga tak terbatas pasangan pohon pencarian biner dengan nsimpul dan jarak rotasi 2n-6menggunakan geometri hiperbolik.

$o(k^2)$ baris :

$k^2$ penghalang untuk matriks RIP eksplisit. STOC 2011: 637-644.

Aljabar linier yang digunakan untuk menyebarkan grafik:

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: Sparsifiers dua kali-ramanujan. STOC 2009: 255-262.

Ini mungkin atau mungkin tidak masuk hitungan, tetapi baru-baru ini teori set Zermelo-Fraenkel dengan atom (ZFA) dan Fraenkel-Mostowski (FM) telah diterapkan pada studi sintaksis abstrak dengan pengikatan nama. ZFA diperkenalkan pada awal abad ke-20 sebagai alat untuk membuktikan kemandirian CH dan kemudian dilupakan, tetapi ditemukan kembali pada akhir 1990-an oleh dua ilmuwan komputer --- Gabbay dan Pitts --- mempelajari sesuatu yang sama sekali tidak terhubung.

Lihat makalah survei ini misalnya.

Aplikasi Kahn dan Kim untuk entropi grafik untuk menyortir di bawah informasi parsial (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Mereka memberikan algoritma waktu polinomial pertama yang melakukan perbandingan jumlah yang optimal secara teoritis (hingga konstanta). Makalah ini merupakan karyawisata kecil dalam matematika, menggunakan beberapa argumen kombinatorial klasik, bersama dengan geometri cembung, entropi grafik, dan pemrograman cembung. Ada algoritma sederhana yang lebih baru, tetapi kami masih tahu bagaimana menganalisisnya tanpa entropi grafik.

Teori bilangan digunakan untuk mengembangkan RSA dan skema kriptografi kunci publik lainnya.

Penemuan penggandaan Karatsuba mengejutkan.