"Kompleksitas matriks" - apakah mungkin?

Saat menelusuri posting CStheory.se lama , saya menemukan posting blog yang menarik tentang masalah kematian matriks . Kecuali saya salah mengartikan masalah, ini menyatakan bahwa dengan memberikan koleksi terbatas matriks 3 x 3 dengan entri integer untuk setiap nilai matriks, kita harus memutuskan apakah ada produk hingga dari matriks yang sama dengan matriks yang terdiri dari semua nol.

Hebatnya, masalah ini tidak dapat dipastikan, karena pengurangan dari masalah korespondensi Post. Pertanyaan saya adalah: Mengingat ketidakpastian masalah, dan tautannya ke masalah yang terkait dengan mesin Turing, dapatkah Anda menunjukkan bahwa ada cara untuk mengkarakterisasi (misalnya) semua bahasa, kelas P, dan NP kelas menggunakan matriks?

Saya telah melakukan sedikit pekerjaan sendiri, tetapi tidak memiliki pelatihan untuk memastikan apakah kepercayaan saya benar. Masalah ini akan, saya pikir, memerlukan sedikit usaha pada bagian pembaca untuk menyelesaikannya.

Saya tidak tahu cara menggunakan LaTeX untuk menulis matriks pada SE, tapi inilah upaya pertama saya untuk mengkarakterisasi NP:

Diberikan seperangkat terbatas dari matriks 3 x 3 dengan entri bilangan bulat dan bilangan bulat sebagai NP "permintaan," biarkan matriks tambahan diambil sebagai "struktur." "Permintaan" menerima "struktur" jika ada produk matriks dari yang sama dengan matriks yang hanya terdiri dari nol. $S$ $k$ $M$ $|M|^k + k$ $S$

Upaya ini tidak lengkap dan tidak termasuk bukti, seperti yang Anda lihat, tapi saya ingin memberikan pemikiran pertama saya tentang masalah untuk melihat apakah upaya yang lebih canggih dapat dilakukan untuk memformalkan gagasan kompleksitas matriks. Ini menarik karena, seperti karakterisasi Fagin dari NP menggunakan kompleksitas deskriptif, ini dapat digunakan untuk mengkarakterisasi NP dengan cara yang bebas mesin.

cc.complexity-theory matrix-product

— Philip White
sumber

Apakah penggunaan terminologi, "kompleksitas deskriptif matriks", di sini ada hubungannya dengan kompleksitas deskriptif? Tampak bagi saya bahwa Anda berusaha untuk mengekspresikan kelas kompleksitas menggunakan operasi matriks daripada menerapkan teori model hingga. Jika demikian, Anda mungkin ingin menghapus tag kompleksitas deskriptif. Mungkin juga bermanfaat bagi kami jika Anda mengklarifikasi perbedaan atau hubungan antara ide Anda dan Kompleksitas Deskriptif.

— mdxn

Saya bukan ahli, tetapi saya percaya bahwa kompleksitas "deskriptif" dinamai demikian karena tidak tergantung pada mesin Turing. "Deskriptif" tidak berarti "logis" atau "menggunakan teori model hingga" - Saya tidak berpikir. Saya menambahkan tag kompleksitas deskriptif karena pembuatan karakterisasi kelas kompleksitas bergantian dan bebas mesin adalah tujuan dari kompleksitas deskriptif.

— Philip White

Meskipun kata Inggris biasa "deskriptif" tidak berarti "menggunakan teori model logika / terbatas", istilah teknis "kompleksitas deskriptif" memang berarti demikian.

— David Richerby

Baik. Saya akan mengubah pertanyaan.

— Philip White

M_{1}, . . ., M_{n}

$M_1,...,M_n$

i_{k}

$i_k$

M_{i_{1}} \cdot . . . \cdot M_{i_{m}} = 0

$M_{i_1} \cdot ... \cdot M_{i_m} = 0$

m

$m$

T

$T$

x

$x$

m = O (f (| x |)^{k})

$m = O(f(|x|)^k)$

k

$k$

f (| x |)

$f(|x|)$

T

$T$

x

$x$

Ini bukan karakterisasi NP: ini hanya masalah NP-complete (well, saya menganggap itu NP-complete, pokoknya). OK, jika demikian, Anda bisa mengkarakterisasi NP sebagai kelas masalah yang dapat direduksi menjadi masalah matriks Anda, tetapi bagaimana Anda akan mendefinisikan reduksi? Menggunakan reduksi dari beberapa model komputasi yang ada (misalnya, mesin Turing) akan merugikan diri sendiri. Keuntungan apa yang dimiliki oleh karakterisasi seperti itu, katakanlah, mengingat NP sebagai kelas masalah yang dapat direduksi menjadi, katakanlah, set independen?

$M$

— David Richerby
sumber