Meminimalkan automata keadaan terbatas residual

Automata keadaan terbatas residual (RFSA, didefinisikan dalam [DLT02]) adalah NFA yang memiliki beberapa fitur bagus yang sama dengan DFA. Secara khusus, selalu ada RFSA berukuran minimum kanonik untuk setiap bahasa reguler, dan bahasa yang dikenali oleh setiap negara bagian dalam RFSA adalah residu, seperti halnya dalam DFA. Namun demikian, dimana status DFA minimum membentuk suatu penambangan dengan semua residu, status RFSA kanonik berada dalam penambangan dengan residual utama; jumlah ini bisa lebih sedikit secara eksponensial, sehingga RFSA bisa jauh lebih ringkas daripada DFA untuk mewakili bahasa biasa.

Namun, saya tidak tahu apakah ada algoritma yang efisien untuk meminimalkan RFSA atau jika ada hasil kekerasan. Apa kompleksitas meminimalkan RFSA?

Dari browsing [BBCF10], sepertinya ini bukan pengetahuan umum. Di satu sisi, saya berharap ini menjadi sulit karena banyak pertanyaan sederhana tentang RFSA seperti "apakah NFA ini RFSA?" sangat sulit, PSPACE-complete dalam hal ini. Di sisi lain, [BHKL09] menunjukkan bahwa RFSA kanonik dapat dipelajari secara efisien dalam model guru Angluin yang memadai minimal [A87], dan secara efisien mempelajari RFSA minimum dan meminimalkan RFSA sepertinya harus sama sulitnya. Namun, sejauh yang saya tahu algoritma [BHKL09] tidak menyiratkan algoritma minimalisasi, karena ukuran contoh-counter tidak dibatasi dan tidak jelas bagaimana menguji RFSA secara efisien untuk kesetaraan untuk mensimulasikan oracle contoh-counter . Menguji dua NFA untuk kesetaraan adalah PSPACE-complete , misalnya.

Referensi

[A87] Angluin, D. (1987). Mempelajari kumpulan reguler dari kueri dan contoh tandingan. Informasi dan Komputasi, 75: 87-106

[BBCF10] Berstel, J., Boasson, L., Carton, O., & Fagnot, I. (2010). Minimalisasi automata. arXiv: 1010.5318 .

[BHKL09] Bollig, B., Habermehl, P., Kern, C., & Leucker, M. (2009). Pembelajaran Angluin-Style of NFA. Di IJCAI , 9: 1004-1009.

[DLT02] Denis, F., Lemay, A., & Terlutte, A. (2002). Automata keadaan terbatas residual. Fundemnta Informaticae , 51 (4): 339-368.

Biarkan masalah "DFA NFA" menunjukkan hal-hal berikut: Diberi DFA dan integer , apakah ada NFA dengan paling banyak negara setara dengan ? Demikian pula, biarkan "DFA RFSA" menunjukkan masalah yang diperoleh dari di atas jika kita mengganti "NFA" dengan "residual state automaton".$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

Jiang dan Ravikumar menunjukkan bahwa masalah "DFA NFA" adalah PSPACE-complete dengan pengurangan dari masalah "DFA union universalities". Masalah yang terakhir telah memberikan daftar DFA , dan menanyakan apakah .$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

Pengurangannya berjalan dengan mendefinisikan bahasa dari DFA ini dan bilangan bulat sesuai , sehingga DFA yang menerima dapat dibangun dalam polinomial waktu dalam ukuran DFA . Kemudian mereka menunjukkan bahwa setiap NFA (dengan demikian fortiori setiap RFSA) yang menerima membutuhkan setidaknya status dalam kasus bersifat universal dan setidaknya menyatakan sebaliknya. Kemudian mereka membangun -state NFA , yang menerima iff .$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

Bukti ini kemudian dipertimbangkan kembali oleh Gruber dan Holzer (Perkembangan dalam Teori Bahasa '06). Mereka menggunakan reduksi yang sama untuk menunjukkan hasil yang sedikit berbeda, yang berkaitan dengan kompleksitas komputasi teknik batas bawah untuk NFA: Suatu set pembodohan (diperluas) untuk bahasa reguler adalah himpunan pasangan kata , sehingga untuk setiap memegang tetapi untuk semua memegang: atau .$R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$$x_jy_i\notin R$

Untuk reduksi di atas, mereka menunjukkan bahwa ada seperangkat pembodohan ukuran jika bersifat universal. Dengan memeriksa bukti oleh Gruber dan Holzer, seseorang dengan mudah mencatat bahwa setiap "kata kiri" dalam himpunan sedemikian rupa sehingga NFA disebutkan di atas dapat beralih dari kondisi awal ke hanya status tunggal saat membaca . Yaitu, bahasa yang diterima dari state sama dengan , dan dengan demikian adalah otomat keadaan tetap residual.$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

Jika alasan di atas tidak mengandung kesalahan, ini menghasilkan pengurangan dari masalah universalitas serikat DFA menjadi masalah "DFA RFSA", dan karenanya merupakan PSPACE-hard. Keanggotaan dalam PSPACE mengikuti garis yang sama seperti untuk masalah DFA NFA, sehingga masalah "DFA RFSA" selesai-PSPACE. Menjadi lebih umum tetapi masih dalam PSPACE, masalah "NFA RFSA" adalah PSPACE-complete juga.$\to$$\to$$\to$$\to$

Bagi mereka yang ingin merekonstruksi argumen di atas (tolong jangan anggap remeh, penulisan saya agak terburu-buru), saya sarankan membaca bukti Teorema 15 dalam laporan ECCC yang dikutip di bawah ini. Terutama, Gambar 5 di halaman 18 menggambarkan otomat yang saya klaim sebagai RFSA.$N$

T. Jiang dan B. Ravikumar. Masalah NFA minimal sulit. Jurnal SIAM tentang Komputer, 22 (6): 1117–1141, Desember 1993.

Hermann Gruber dan Markus Holzer. Menemukan Batas Bawah untuk Kompleksitas Nondeterministik Negara Adalah Sulit. Dalam Oscar H. Ibarra dan Zhe Dang, editor, Konferensi Internasional ke-10 tentang Perkembangan Teori Bahasa (DLT 2006), Santa Barbara (CA), AS, volume 4036 Catatan Kuliah dalam Ilmu Komputer, halaman 363-374. Springer, Juni 2006.

Hermann Gruber dan Markus Holzer. Menemukan Batas Bawah untuk Kompleksitas Nondeterministik Negara adalah Sulit. Laporan Teknis ECCC TR06-027, Kolokium Elektronik tentang Kompleksitas Komputasi, 2006.