Dibandingkan pertumbuhan jumlah kelas sintaksis dan kelas Nerode.

Untuk bahasa L ⊆ Σ ^ * , tentukan kongruensi sintaksis ≡ dari L sebagai kongruensi terkecil pada on ^ * yang menjenuhkan L , yaitu:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Sekarang tentukan kesetaraan Nerode sebagai kongruensi kanan berikut:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Biarkan [u] menjadi kelas kesetaraan u sehubungan dengan ≡ dan <u> sehubungan dengan ~ . Sekarang mendefinisikan i (n) menjadi jumlah yang berbeda [u] untuk u ukuran n , dan menentukan j (n) dengan cara yang sama untuk ~ .

Sekarang pertanyaannya adalah, bagaimana hubungan kedua fungsi tersebut?

Sebagai contoh, teorema standar (Kleene-Schützenberger, saya percaya) mengatakan bahwa i (n) dibatasi oleh konstanta setiap kali j (n) adalah, dan secara timbal balik.

Pertanyaan: Apakah ada hasil lain dalam tren ini? Bagaimana jika salah satunya adalah polinomial, misalnya?

automata-theory fl.formal-languages

— Michaël Cadilhac
sumber

Tentu saja i (n) selalu merupakan batas atas pada j (n), jadi agaknya Anda hanya bertanya tentang implikasi ke arah lain, misalnya: jika j (n) dibatasi di atas oleh polinomial, haruskah saya (n) menjadi demikian juga?

— Joshua Grochow

Nah, sebaliknya masih masuk akal, bukan? Misalnya saya dapat bertanya: jika i (n) adalah eksponensial, adakah kriteria sederhana yang dapat saya simpulkan bahwa j (n) juga eksponensial?

— Michaël Cadilhac

Memang. Saya hanya berpikir dalam hal batas atas, tetapi tentu saja Anda benar.

— Joshua Grochow

Tampaknya makalah ini http://arxiv.org/abs/1010.3263 mungkin relevan dengan pertanyaan Anda.

Status abstrak:

$n$ $n^{n-1}$ $n^{n-1}+n-1$ $n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

Jadi, sejauh yang saya mengerti, ini menjawab pertanyaan Anda tentang ukuran sintaksis dan semigroup Myhill-Nerode: secara umum, kongruensi sintaksis mungkin memiliki banyak kelas secara eksponensial daripada hubungan Myhill-Nerode.

$n^n$ $n$

— Sergey
sumber

Bisakah Anda memperluas jawaban Anda untuk menjelaskan relevansinya?

— Dave Clarke

Lihat saja kertasnya!

— Sergey

Maaf, saya memasukkan tautan yang tidak valid. Sebenarnya saya tidak dimaksudkan untuk memberikan jawaban (dalam beberapa hal jawaban itu terkandung dalam makalah yang saya sebutkan) tetapi sebuah komentar, tetapi sayangnya saya tidak tahu bagaimana melakukannya secara teknis

— Sergey

By the way, karena mengikuti dari kertas yang tercantum di atas mungkin ada kelas sintaksis lebih eksponensial daripada kelas Myhill-Nerode.

— Sergey

Alangkah baiknya jika Anda merangkum hasil karya yang relevan dengan pertanyaan ini, dan itu akan berubah menjadi jawaban yang sempurna di sini. Tolong :) Beberapa dari kita (saya) cukup tertarik untuk melihat jawaban atas pertanyaan yang belum terjawab di sini!

— Hsien-Chih Chang 張顯之