Ubah CNF menjadi 3-CNF setara yang didefinisikan pada variabel yang sama

(Saya memposting pertanyaan ini di CS sepuluh hari yang lalu, tanpa jawaban sejak saat itu - jadi saya posting di sini.)

Setiap rumus CNF dapat diubah dalam waktu polinomial menjadi rumus 3-CNF dengan menggunakan variabel baru. Tidak selalu mungkin jika variabel baru tidak diperbolehkan (misalnya, rumus satu klausa: ). $(x_1 \lor x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Mari tentukan masalah (SAT hingga 3-SAT): Diberi , rumus CNF. Apakah mungkin untuk mengubah menjadi setara 3-CNF yang didefinisikan pada variabel yang sama dengan ? - di mana "setara" berarti dengan set model yang sama. $F$ $F$ $F$

Apa kompleksitas masalah ini?

cc.complexity-theory complexity-classes sat

— Xavier Labouze
sumber

Dengan ekivalen yang Anda maksud adil-memuaskan, saya kira?

— Jan Johannsen

Sebaliknya, "dengan set model yang sama".

— Xavier Labouze

fyi tseitin transform adalah nama untuk transformasi dari -SAT ke 3-SAT menggunakan vars tambahan. sepertinya pertanyaan Anda adalah sesuatu seperti menanyakan tentang keberadaan algoritma kompresi untuk SAT. kedengarannya seperti Anda menginginkan solusi yang sama dengan memperpendek klausa menjadi 3 atau lebih sedikit variabel. dari EE, ini terkait dengan penghitungan semua minterm dan menemukan penutup minimal dan menanyakan apakah ada yang sesuai dengan kriteria (dalam hal ini semua klausa 3 atau lebih sedikit vars). tampaknya memiliki kompleksitas yang berpotensi tinggi.

n

$n$

— vzn

Mungkin ini merupakan co-NP-complete: pilih formula 3CNF , buat formula baru dengan 4 variabel baru . memiliki rumus setara 3CNF pada variabel yang sama jika dan hanya jika tidak memuaskan.

φ = C_{1} \land . . . \land C_{n}

$\varphi = C_1 \land ... \land C_n$

φ^{'} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land C_{1} \land . . . \land C_{n}

$\varphi' = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_n$

y_{1}, . . ., y_{4}

$y_1,...,y_4$

φ^{'}

$\varphi'$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi. Bagus! Namun, saya tidak yakin itu cukup untuk membuktikan kelengkapan co-NP (entah bagaimana, saya mengharapkan compexity yang lebih tinggi tetapi itu hanya sebuah intuisi ...)

— Xavier Labouze

(Dari komentar di atas) Masalahnya tampaknya sulit-TNNP; reduksi sederhananya dari 3CNF-UNSAT (yang dilengkapi coNP): diberi rumus 3CNF , perluas penambahan klausa baru dengan 4 variabel baru: $\varphi = C_1 \land ... \land C_m$

φ^{'} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land C_{1} \land . . . \land C_{m}

$\varphi' = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_m$

$\varphi'$ memiliki rumus 3CNF setara yang didefinisikan pada variabel yang sama jika dan hanya jika rumus asli tidak memuaskan. $\varphi$

( ) rumus 3CNF setara dengan $\Leftarrow$ $(y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_m$ $\varphi'$

( ) misalkan memiliki rumus 3CNF yang setara dan memuaskan. Pilih tugas yang memuaskan dari , dan sederhanakan dan mengganti variabel dengan kebenaran yang sesuai nilai . Kita mendapatkan yang memuaskan jika dan hanya jika memuaskan (keduanya hanya berisi variabel ). Jelas $\Rightarrow$ $\varphi'$ $\varphi''$ $\varphi$ $X = \langle \dot{x}_1,...,\dot{x}_n \rangle$ $\varphi$ $\varphi'$ $\varphi''$ $x_i$ $\dot{x}_i$ $\varphi'_X$ $\varphi''_X$ $y_i$ $\varphi'_X = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4)$ . Setiap klausa dari berisi paling banyak tiga variabel, jadi kita dapat memilih salah satunya, misalnya , dan menggunakannya untuk membangun tugas yang memuaskan untuk : yang bukan tugas yang memuaskan untuk , yang mengarah ke kontradiksi. $\varphi''_X$ $(y_1 \lor \lnot y_2 \lor y_3)$ $\varphi'$ $\langle y_1=false, y_2=true, y_3=false,y_4=true,\dot{x}_1,...,\dot{x}_n \rangle$ $\varphi''$

— Marzio De Biasi
sumber

Tks untuk jawabannya. Saya tidak mendapatkan : Saya akan mengatakan bahwa jika dapat dimaafkan maka , yang kemudian setara dengan klausa kosong (ukuran 0). Untuk ), hanya berpikir jika , maka setara dengan ...

(\Leftarrow)

$(\Leftarrow)$

φ

$\varphi$

φ^{'}

$\varphi'$

(\Rightarrow

$(\Rightarrow$

φ = (x \lor \neg x)

$\varphi = (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land (x \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor x) \land (y_{3} \lor y_{4} \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor x)\land (y_3 \lor y_4 \lor \lnot x)$

— Xavier Labouze

@XavierLabouze: ya tampak lebih baik. Dalam ( saya berasumsi bahwa ada 3CNF setara , dan kemudian memperoleh kontradiksi dari asumsi bahwa asli memuaskan. Apakah Anda pikir itu salah?

(\Leftarrow)

$(\Leftarrow)$

\Rightarrow)

$\Rightarrow)$

φ^{'}

$\varphi'$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

Anda benar - saya salah dalam menyatakan memiliki model yang sama dengan .

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land (x \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor x) \land (y_{3} \lor y_{4} \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor x)\land (y_3 \lor y_4 \lor \lnot x)$

— Xavier Labouze

Apakah Anda memperhatikan bahwa sama dengan ? Bisakah Anda jelaskan ini: "Kami mendapatkan yang memuaskan jika dan hanya jika memuaskan", daripada Anda menambahkan "(keduanya hanya berisi variabel )", bagaimana Anda bisa yakin bahwa mereka akan hanya mengandung ? Saya juga tidak mengerti kesimpulannya, apakah Anda membuktikan bahwa menambahkan 4 variabel klausa menjadi 3-cnf dari variabel yang sama adalah coNP-Complete?

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3}) \land (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4)$

(y_{1} \lor y_{2}) \land (y_{3} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2) \land (y_3 \lor y_4)$

φ_{X}^{'}

$\varphi'_X$

φ_{X}^{″}

$\varphi''_X$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

— Ilya Gazman

φ_{1} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3}) \land (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{4})

$\varphi_1 = (y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4)$ dan -sama memuaskan tetapi tidak setara (sama) serangkaian model): y1 = F, y2 = F, y3 = T, y4 = T adalah model yang valid untuk tetapi tidak untuk . Dalam pertanyaan kita berbicara tentang rumus yang setara. Buktinya bergantung pada fakta bahwa tidak dapat memiliki set model yang sama dari formula 3CNF apa pun.

φ_{2} = (y_{1} \lor y_{2}) \land (y_{3} \lor y_{4})

$\varphi_2 = (y_1 \lor y_2) \land (y_3 \lor y_4)$

φ_{1}

$\varphi_1$

φ_{2}

$\varphi_2$

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4)$

— Marzio De Biasi