Kelas grafik di mana masalah Hamiltonian Cycle dan Hamiltonian Path memiliki kompleksitas yang berbeda

Saat mencari Sistem informasi pada Kelas Grafik dan Inklusi mereka , saya menemukan beberapa kelas grafik yang masalah Siklus Hamiltonian adalah NP-lengkap sedangkan kompleksitas masalah Jalur Hamiltonian TIDAK diketahui. Beberapa kelas tersebut adalah grafik derajat 3 maksimum bipartit, grafik grid 3 derajat maksimum, dan grafik planar kubik 2 yang terhubung. Juga fenomena ini berlaku untuk grafik lingkaran dan grafik kotak segitiga.

Apakah ada pembaruan untuk kompleksitas masalah jalur Hamiltonian di kelas-kelas itu? Apakah ada penjelasan untuk fenomena ini?

EDIT : Saya menemukan dalam database kelas grafik kasus aneh dari grafik kotak padat di mana masalah siklus Hamiltonian berada di sementara masalah jalur Hamiltonian adalah kompleksitas yang tidak diketahui . $P$

cc.complexity-theory graph-theory

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Saya bertanya-tanya apakah ada kelas grafik yang menarik di mana HP berada di

tetapi HC adalah

-complete.

P

$P$

N P

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany

Secara umum, Apakah ada kelas grafik yang salah satu masalahnya (HC dan HP) adalah

-complete dan yang lainnya ada di

atau di

? Saya mencari hasil yang dipublikasikan untuk masalah HC dan HP.

N P

$NP$

P

$P$

N P I

$NPI$

— Mohammad Al-Turkistany

Untuk apa nilainya (tidak banyak), Hamiltonian Path dan Hamiltonian Cycle memiliki kompleksitas yang berbeda pada pohon: siklus itu sepele tetapi jalur membutuhkan pemindaian linier untuk melihat apakah ada titik derajat lebih dari dua.

— David Richerby

Tidak mungkin HP ada di

dan HC adalah

-complete untuk kelas grafik apa pun karena ada pengurangan Cook dari HC ke HP yang membuat paling banyak panggilan

ke oracle HP. Pertanyaan sebenarnya adalah apakah ada pengurangan Karp (

P

$P$

N P

$NP$

O (| E |)

$O(|E|)$

H C <_{P}^{m} H P

$HC<_P^m HP$

— Mohammad Al-Turkistany

Jawaban:

Masalah jalur Hamiltonian pada grafik grid dengan derajat 3 maksimum adalah NP-lengkap. Buktinya ada di CH Papadimitriou dan UV Vazirani, Tentang dua masalah geometris yang berkaitan dengan masalah salesman keliling, Jurnal Algoritma, Volume 5, Edisi 2, Juni 1984, Halaman 231–246 (Teorema 2)

— Marzio De Biasi
sumber

Terima kasih Marzio, Apakah mereka menggunakan definisi yang sama yang digunakan dalam database untuk grafik kotak? (karena mereka berbeda definisi dalam literatur)

— Mohammad Al-Turkistany

Grafik kisi adalah subgraf

yang terbatas dan diinduksi simpul , grafik tak terbatas yang himpunan verteksnya terdiri dari semua titik pesawat dengan koordinat bilangan bulat dan di mana dua simpul terhubung jika dan hanya jika jarak Euclidean di antara mereka adalah 1; sehingga grafik kisi dapat memiliki "lubang" dan teorema terbukti untuk (terbatas pada) grafik kisi di mana simpul memiliki tingkat maksimum 3.

G^{\infty}

$G^\infty$

— Marzio De Biasi

Terima kasih Marzio, Jadi, untuk kelas ini, HC dan HP memiliki kompleksitas yang sama.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: catatan lain: grafik kotak (dan grafik kotak dengan derajat maksimal 3) juga merupakan bipartit, jadi HP harus dilengkapi NP untuk grafik bipartit dengan derajat maksimum 3 juga.

— Marzio De Biasi

Telah ada pembaruan untuk Sistem informasi tentang Kelas Grafik dan Inklusi mereka. Sekarang, masalah siklus Hamiltonian dan masalah jalur Hamiltonian dinyatakan sebagai NP-lengkap pada grafik planar 2 kubik yang terhubung.

Namun, kompleksitas komputasi masalah HC dan HP terdaftar tidak diketahui untuk satu masalah dan NP-lengkap untuk yang lain pada grafik lingkaran , grafik kisi segitiga , dan grafik kisi padat .

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Anda mengatakan "... kerumitan masalah HC dan HP masih berbeda ..."; mungkin lebih baik untuk mengatakan bahwa "untuk kelas grafik ini HC adalah NPC, tetapi HP masih memiliki kompleksitas yang tidak diketahui"

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Terima kasih atas komentar Anda yang berharga. Saya mengedit untuk mencerminkan saran Anda.

— Mohammad Al-Turkistany

Apakah saya melewatkan sesuatu? HC adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan dalam grafik kisi padat. ieeexplore.ieee.org/document/646138

— Saeed