Teori pertumbuhan asimptotik yang dapat dipertimbangkan


12

Apa batas yang diketahui dari kesesuaian perbandingan tingkat pertumbuhan fungsi dari ? Saya di sini memikirkan kepantasan pertanyaan seperti "Apakah x x2 x lg ( x + 2 ) ?" atau "Apakah 2 lg xO ( lg lg x ) ?".NNxx2xlg(x+2)2lgxO(lglgx)

Jika kita membatasi fungsi menjadi polinomial (diekspresikan dengan cara biasa), maka ini tidak sulit. Lihat juga bentuk normal penyanyi .

Seberapa besar kita dapat membuat kelas fungsi sebelum perbandingan menjadi tidak dapat ditentukan? Bisakah kita memperluasnya ke fungsi yang digunakan dalam kelas algoritma sarjana khas?

Seperti yang dijelaskan Joshua Grochow di komentar, saya benar-benar tertarik pada rangkaian ekspresi, bukan fungsi itu sendiri. Jadi, misalnya, saya akan tertarik dengan prosedur keputusan yang dapat membandingkan " " dan " 2 ", bahkan jika mereka tidak dapat membandingkan " ln e " dan " n ( ln n ) - 1 ".12lnen(lnn)1

Pertanyaan yang mungkin terkait: "Apakah teori batas asimptotik tidak dapat diterima?"


2
Pertanyaan menarik! Saya pikir satu bagian harus diubah sedikit. Saya tidak berpikir pertanyaannya harus seberapa besar kelas fungsi, tetapi bagaimana fungsi diekspresikan . Yaitu, jika Anda diberi dua mesin Turing polinomial sebagai input, mengatakan mana yang memiliki waktu berjalan lebih besar tidak dapat diputuskan (meskipun keduanya memiliki waktu menjalankan polinomial) ... Jika fungsi-fungsi tersebut dinyatakan sebagai, katakanlah , polinomial eksplisit (tuliskan seluruh poli dengan koefisien) maka mudah untuk membandingkan.
Joshua Grochow

Poin yang bagus. Apakah Anda punya saran tentang bagaimana mengatakannya?
jbapple

1
Saya kira itu tergantung pada apa yang Anda minati. Mungkin wajar untuk meminta fungsi yang dinyatakan sebagai rumus yang melibatkan berbagai operasi, dan kemudian pertanyaannya adalah set operasi apa yang membuatnya dapat ditentukan / tidak dapat diputuskan. mis. ops akan mencakup +, kali, bagi, -, akar n, exp, log, komposisi, log ^ *, dll. (Jika Anda meninggalkan log ^ *, daftar sebelumnya memberi Anda semua fungsi dasar.)
Joshua Grochow

Jawaban:


9

Rxexplog||f(x)5+f(x)=xada di keluarga). Hardy menunjukkan bahwa dua fungsi tersebut dapat dibandingkan tanpa gejala. Saya tidak yakin apakah buktinya algoritmik, tetapi perlu diperiksa.

Boshernitzan memperpanjang kelas ini lebih jauh, dan tidak diragukan lagi ada pekerjaan lain tentang masalah ini.


Buku John R. Shackell "Symbolic Asymptotics" mengklaim (bagian 5.1, halaman 91), bahwa algoritma pertama untuk masalah ini adalah dari makalah Dahn dan Goring 1986, "Catatan tentang istilah eksponensial-logaritmik" . Disertasi Dominik Gruntz tahun 1996, "Pada Batas Komputasi dalam Sistem Manipulasi Simbolik" juga berisi algoritma untuk masalah ini dan membandingkan berbagai metode.
jbapple

2
Namun, semua ini bergantung pada ramalan untuk menyelesaikan masalah kesetaraan nol, yang secara umum tidak dapat diputuskan.
jbapple
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.