Kompleksitas Komparatif Independen Set Keputusan Masalah

8

Pertimbangkan masalah berikut:

Input: (G1, G2) di mana G1 dan G2 adalah grafik tidak terarah

Pertanyaan: Apakah ukuran set independen max G1 setidaknya sama besar dengan ukuran set independen max G2?

Ini sepertinya pertanyaan yang wajar untuk ditanyakan, namun saya belum dapat menemukan kelas kompleksitas yang masalah ini selesai. Adakah yang tahu itu? Sebagai titik awal, dapat dilihat bahwa masalahnya adalah NP-hard dan terkandung dalam P dengan akses ke NP oracle dengan mencatat banyak pertanyaan.

cc.complexity-theory

— Daniel Grier
sumber

4

Ini juga merupakan co-NP-hard, memang diberi grafik dan integer , menggunakan dum dengan set independen maksimal ukuran (misalnya jalur panjang ) Anda dapat membangun banyak-satu pengurangan dari kedua Masalah NPC "Apakah mengandung set ukuran independen ?" dan pelengkapnya (menukar dan ).

G_{1}

$G_1$

k

$k$

G_{2}

$G_2$

k

$k$

2 k

$2k$

G_{1}

$G_1$

\geq k

$\geq k$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

— Marzio De Biasi

2

Masalah ini memang lengkap untuk kelas polinomial waktu mesin Turing dengan akses ke NP oracle dengan mencatat banyak pertanyaan (juga dikenal sebagai ). Hasilnya muncul dalam makalah TCS 2000 FST oleh Spakowski dan Vogel berjudul " -Kelengkapan: Pendekatan Klasik untuk Hasil Baru." Bukti yang disajikan di sana dan bukti bahwa saya tiba secara mandiri keduanya bergantung pada dari Wagner ("Kelas-Kelas Kueri yang Diperbatasi" Jurnal SIAM tentang Komputasi arsip Volume 19 Edisi 5, Oktober 1990). $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$

— Daniel Grier
sumber

1

Sepertinya, masalah Anda adalah Turing-complete untuk kelas . Seperti disebutkan dalam pertanyaan, Anda sudah tahu bahwa itu termasuk dalam kelas ini. Untuk memperlihatkan kelengkapan Turing, orang dapat memperhatikan bahwa dengan mengambil set ukuran untuk memungkinkan kami untuk menentukan (menggunakan tugas sebagai oracle) apakah set independen maksimum dalam adalah . Mengulanginya dengan pencarian biner untuk , kita dapat menentukan ukuran dari set independen max di . ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $l$ $G_1$ $G_2$ $\leq l$ $1\leq l \leq n$ $exact$ $G_2$

Terapkan di atas untuk melengkapi grafik untuk menentukan ukuran yang tepat dari klik maks dalam , daripada set independen. Setelah menentukan ukuran klik maksimum, kita dapat memutuskan apakah itu dapat dibagi dengan angka tertentu . Kemudian kita dapat meminta hasil yang memutuskan apakah ukuran klik maksimum grafik dapat dibagi dengan angka yang diberikan adalah lengkap untuk ( lihat Krentel, "Kompleksitas masalah optimisasi," J. Ilmu Komputer dan Sistem, 36 (1988/3), hlm. 490-509, Teorema 3.5) $G_2$ $k$ ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$

Sementara hasil yang direferensikan dari Krentel membuktikan kelengkapan banyak masalah dalam , pengurangan di atas hanya menunjukkan kelengkapan Turing, karena dalam pencarian biner kita harus memanggil oracle beberapa ( ) kali. ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $\log n$

— Andras Farago
sumber

1

Sepertinya hal langsung dari hanya encoding semua permintaan NP oracle ke dalam contoh masalah ini akan sama baiknya. Juga, karena argumen ini dapat diulang dengan bahasa NPC apa pun, sepertinya tidak mengungkapkan apa pun tentang kekuatan bahasa ini.

— Daniel Grier

Anda benar, saya mengabaikan argumen yang sama dapat dibuat menggunakan, misalnya, masalah Set Independen sederhana (atau, dalam hal ini, dengan masalah NPC). Yang pasti akan lebih menarik adalah untuk menunjukkan bahwa masalah Set Komparatif Independen ini banyak yang lengkap untuk kelas yang disebutkan.

— Andras Farago

0

Masalah Anda juga banyak- sulit untuk implikasi antara instance NP.

Kurangi sisi kanan implikasi ke set independen dengan cara apa pun yang mudah, dan kurangi sisi kiri implikasi ke set independen dengan cara yang memastikan grafik tidak dapat memiliki set independen lebih besar dari ukuran target. $\:$ (Misalnya, kurangi menjadi CNF-SAT dan kemudian terapkan pengurangan ini meskipun memiliki instance CNF-SAT umum dan bukan harus instance 3-SAT.) $\:$ Tambahkan sejumlah simpul terisolasi yang sama dengan perbedaan antara ukuran target
ke ukuran target mana pun yang lebih kecil, dan tambahkan instances ukuran target dengan
nomor yang sama. $\:$ Itu jelas memberikan contoh yang setara, dan membuat ukuran target yang dihasilkan sama. $\:$ Jika ukuran target adalah nol maka kembalikan instance kosong dari masalah Anda,
jika tidak tambahkan [ukuran target dikurangi satu] simpul terisolasi ke grafik yang sesuai dengan instance di
sebelah kanan implikasi dan sambungkan masing-masing ke semua simpul yang ada
sebelum kalimat ini, dan kembali dengan G1 sama dengan grafik itu dan G2 sama dengan grafik lainnya.

(Selain itu, mesin virtual masalah Anda bisa menjadi banyak -satu
direduksi menjadi konjungsi implikasi antara mesin virtual NP.)