Apa kerumitan masalah jalur ini?

Instance: Grafik tidak berarah dengan dua simpul dibedakan , dan integer . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Pertanyaan: Apakah ada jalur di , sehingga jalur tersebut menyentuh paling banyak simpul ? (Titik disentuh oleh jalan jika titik baik di jalan, atau memiliki tetangga di jalan.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
sumber

Ini terdengar seperti minimisasi submodular terbatas. Sayangnya, tidak jelas bahwa set kendala mengakui solusi yang efisien.

— Suresh Venkat

Jawaban saya dari

mungkin salah! Setelah memeriksa lebih hati-hati, heuristik tampaknya tidak monoton.

A^{*}

$A^*$

— usul

Menindaklanjuti komentar Suresh, ada baiknya untuk memeriksa makalah "Perkiraan Masalah Kombinatorial dengan Fungsi Biaya Submodular Multi-agen" yang menunjukkan bahwa jalur terpendek biaya submodular sulit. Mungkin ada ide di sana yang menunjukkan kekerasan. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri

Masalah ini dapat diulangi sebagai menemukan sub-grafik ulat dengan paling banyak simpul

yang mencakup

dan

pada lintasan terpanjangnya.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu

@Obinna, sub-grafik ulat harus dalam arti maksimal, karena kita harus menyertakan semua tetangga dari jalur terpanjang

— SamM

Jawaban:

Masalah ini dipelajari dalam:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: Masalah Konektivitas Terpencil. ESA 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Mereka menyebutnya masalah jalur terpencil. Memang NP-hard, dan versi optimasi tidak memiliki pendekatan faktor konstan.

Motivasi yang penulis berikan adalah pengaturan di mana informasi dikirim melalui jalur, dan hanya tetangga dan simpul di jalur yang dapat melihatnya. Tujuannya adalah untuk meminimalkan paparan.

— pengguna20655
sumber

Sunting: Silakan lihat jawaban user20655 di bawah ini untuk referensi makalah yang sudah membuktikan kekerasan masalah ini. Saya akan meninggalkan pos asli saya, kalau-kalau ada yang ingin melihat bukti alternatif ini.

===============

Pertimbangkan instance MIN-SAT, yang merupakan masalah NP-hard , yang terdiri dari variabel dan klausa . Kami akan mengurangi ini untuk masalah jalur Anda. $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

Kita akan memiliki dua simpul untuk setiap (satu untuk bentuk yang dinegasikan dan satu untuk yang tidak didegasi) dan satu simpul untuk setiap . Selanjutnya, membiarkan , kita akan memiliki simpul untuk bantalan. $x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

Secara kasar, kita akan membangun sebuah grafik di mana solusi yang optimal akan membangun jalan dari ke menggunakan dan s sebagai node intermediate. Biaya jalur ini akan persis s bahwa jalan kami memilih akan memuaskan jika kita mengubahnya menjadi sebuah tugas. The s hanya ada untuk mencegah solusi optimal untuk dapat menipu dengan singkat pemotongan melalui salah satu s. $s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

Connect untuk setiap klausul di mana muncul dan untuk setiap klausul di mana muncul. Untuk memaksa penugasan variabel, kami membuat struktur tangga berlian, di mana dan keduanya terhubung ke masing-masing dan . terhubung ke dan $x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ danterhubung kedan . Akhirnya, setiapterhubung ke semua variabel padding. Saya tidak memiliki perangkat lunak saya untuk menggambar grafik, jadi di sini adalah diagram yang sangat kasar dari konstruksi ini: $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Konstruksi contoh keras

(Perhatikan bahwa awan di sini adalah hanya satu set besar simpul, dan setiap tepi tebal dari ke awan ini merupakan yang terhubung ke setiap sudut di set ini.) $\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (Ini intuitif, karena menghapus salah satu dari dua opsi dari variabel apa pun yang dipilih dua kali menghasilkan jalur yang valid dengan biaya tidak lebih besar daripada kami menyimpan keduanya).
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
sumber