Saya tidak tahu di mana ini pertama kali terbukti, tetapi karena EdgeCover memiliki ekspresi sebagai masalah Boolean domain Holant, itu termasuk dalam banyak teorema dikotomi Holant.
EdgeCover termasuk dalam teorema dikotomi pada (1). Teorema 6.2 (dalam versi jurnal atau Teorema 6.1 dalam pracetak) menunjukkan bahwa EdgeCover adalah # P-hard over planar 3-regular graphs. Untuk melihat ini, ekspresi untuk EdgeCover sebagai masalah Holant atas grafik 3-reguler adalah (atau ganti [ 0 , 1 , 1 , 1 ] dengan [ 0 , 1 , … , 1 ] mengandung k 1 untuk masalah yang sama di atas kHolant([0,1,1,1])[0,1,1,1][0,1,…,1]kk- grafik tidak teratur). Ini daftar notasi output dari fungsi simetris di urutan masukan Hamming berat badan. Untuk beberapa subset dari tepi yang ditetapkan (yang kami anggap ditugaskan 1 dan set komplemen ditugaskan 0), kendala pada setiap simpul adalah bahwa setidaknya satu tepi ditugaskan 1, yang persis seperti fungsinya [ 0 , 1 , 1 , 1 ] . Untuk subset tepi yang tetap, bobotnya adalah produk dari output [ 0 , 1 , 1 , 1 ][0,1,1,1][0,1,1,1][0,1,1,1]di setiap titik. Jika ada titik yang tidak tercakup, itu berkontribusi faktor . Jika semua simpul tertutup, maka semua simpul berkontribusi faktor 1 , jadi bobotnya juga 1 . Kemudian Holant adalah untuk menjumlahkan setiap subset tepi yang mungkin dan menambahkan bobot yang sesuai untuk setiap subset. Nilai Holant ini persis sama jika kita membagi setiap tepi dan memaksakan batasan bahwa kedua tepi insiden ke simpul baru ini harus sama. Menggunakan notasi fungsi simetris, fungsi kesetaraan biner ini adalah [ 1 , 0 , 1 ] . Grafik ini adalah bipartit. Verteks dalam satu bagian memiliki [ 0 , 1 ,011[1,0,1] kendala sementara simpul di bagian lain memilikikendala [ 1 , 0 , 1 ] . Ungkapan untuk ini sebagai masalah Holant adalah Holant ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) . Kemudian Anda dapat memeriksa sendiri bahwa baris " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " dan kolom " [ 1 , 0[0,1,1,1][1,0,1]Holant([0,1,1,1]|[1,0,1])[0,1,1,1][1,0,1] "dari tabel dekat teorema yang dikutip di atas mengandung" H ", yang berarti masalahnya adalah # P-hard bahkan grafik input harus planar.
Catatan: Perhatikan bahwa Pinyan Lu adalah penulis makalah ini dan makalah pertama yang Anda kutip. Saya menduga bahwa ketika makalah mereka mengatakan "menghitung penutup tepi adalah masalah # P-lengkap bahkan ketika kita membatasi input ke 3 grafik biasa", mereka secara implisit mengutip (1). Mereka mungkin tidak menyebutkan bahwa kekerasan juga berlaku ketika lebih terbatas pada grafik planar karena FPTAS mereka tidak memerlukan pembatasan ini.
Kemudian teorema dikotomi Holant, seperti yang ada di (2,3) --- versi konferensi dan jurnal dari karya yang sama --- terbukti lebih banyak. Teorema 1 (dalam kedua versi) mengatakan bahwa EdgeCover adalah # P-hard over planar regular graphs untuk k ≥ 3 . Untuk melihat ini, kita perlu menerapkan transformasi holografik. Seperti dijelaskan di atas, ekspresi untuk EdgeCover sebagai masalah Holant atas k- regular graph adalah Holant ( [ 0 , 1 , … , 1 ] ) , di mana [ 0 , 1 , … , 1 ] berisi kkk≥3kHolant([0,1,…,1])[0,1,…,1]k1 Dan lebih jauh lagi, ini setara dengan . Sekarang kita menerapkan transformasi Holographic oleh T = [ 1 e π i / k 1 0 ]Holant([1,0,1]|[0,1,…,1])T=[11eπi/k0](atau kebalikannya, tergantung pada perspektif Anda). Oleh Valiant's Holant Theorem (4,5), ini tidak mengubah kompleksitas masalah (pada kenyataannya, kedua masalah tersebut sebenarnya adalah masalah yang sama karena mereka menyetujui output dari setiap input ... hanya ekspresi dari masalah yang telah berubah ). Ekspresi alternatif untuk masalah ini adalah
Holant([1,0,1]T⊗2|(T−1)⊗k[0,1,…,1])=Holant([2,eπi/k,e2πi/k]|=k),
=kk inputs. To apply Theorem 1, we have to normalize
[2,eπi/k,e2πi/k] to
[2e−πi/k,1,eπi/k] by dividing the original function by
eπi/k, which doesn't change the complexity of the problem since this value is nonzero. Then the values
X and
Y in the statement of the theorem are
X=2 and
Y=−2k−1. For
k≥3, one can check that this problem, so thus EdgeCover as well, is #P-hard over planar
k-regular graphs for
k≥3.
Side note: One can also see this theorem and proof in Michael Kowalczyk's thesis.
I will continue my literature search to see EdgeCover was shown to be #P-hard before (1).
(1) Holographic Reduction, Interpolation and Hardness by Jin-Yi Cai, Pinyan Lu, and Mingji Xia (journal, preprint).
(2) A Dichotomy for k-Regular Graphs with {0,1}-Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.
(3) Partition functions on k-Regular Graphs with {0,1}-Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.
(4) Holographic Algorithms by Leslie G. Valiant
(5) Valiant’s Holant Theorem and matchgate tensors by Jin-Yi Cai and Vinay Choudhary