Intuisi: Transversal ganjil-siklus dalam grafik bebas-segitiga

Saya menduga bahwa jika adalah grafik bebas segitiga sederhana, maka ada satu set paling banyak 2/25 edge yang penghapusannya menghancurkan setiap siklus aneh. $G$ $n^2/25$

Untuk informasi lebih lanjut, lihat makalah 1988 oleh Erdös et al., How to Make a Bipartite Graph .

Pertanyaan 1: Apakah dugaan ini benar karena intuisi Anda?

Pertanyaan 2: Apa kerumitan menghitung jumlah siklus aneh dalam grafik? Apakah ada algoritma yang efisien untuk melakukan itu?

graph-theory

— Rupei Xu
sumber

Intuisi saya mengatakan Anda perlu lebih dari itu (perhatikan grafik 3 grup simpul sehingga semua tepi , belum dipikirkan). A adalah batasan yang jauh lebih intuitif. Tetapi intuisi saya juga mengatakan: "Jika Erdös berkata demikian, itu pasti benar :)". Menghitung siklus sederhana dengan panjang persis adalah #W [1] -hard (sehubungan dengan ), tetapi mungkin ada cara yang lebih mudah untuk menemukan semua siklus aneh.

n / 3

$n/3$

V_{1}, V_{2}, V_{3}

$V_1,V_2,V_3$

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{1}

$V_1 \to V_2 \to V_3 \to V_1$

n^{2} / 9

$n^2/9$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

— RB

@RB Ini seharusnya sudah menjadi jawaban.

— Yixin Cao

Sebenarnya, saya sama sekali mengabaikan bagian bebas segitiga: o. Untuk grafik seperti itu, intuisi saya mengatakan itu benar, dan ketat (pertimbangkan untuk partisi yang sama .

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{4} \to V_{5} \to V_{1}

$V_1\to V_2\to V_3\to V_4\to V_5\to V_1$

V_{1}, . ., V_{5}

$V_1,..,V_5$

— RB

Rupei yang terhormat, ada dua dugaan terkenal oleh erdos di mana grafik yang diusulkan oleh RB (dan mungkin yang juga ada dalam pikiran Anda) dianggap memberi nilai ekstrem. Salah satunya adalah pada jumlah maksimum segilima dalam grafik bebas segitiga dengan simpul 5n dan yang lainnya adalah sama dengan dugaan Anda pada jumlah minimum tepi yang diperlukan untuk mengubah grafik bebas segitiga menjadi bipartit. Samar-samar saya ingat bahwa beberapa kemajuan substansial telah dibuat pada dugaan pertama baru-baru ini, tetapi mungkin saya mencampuradukkan keduanya.

— Gil Kalai

@ GALKALAI, terima kasih banyak atas komentar Anda, Profesor Kalai terkasih, saya menemukan makalah berikut yang menunjukkan hasil yang Anda maksud: Simonovits, Miklós. "Pengaruh Paul Erd pada teori grafik ekstrem." Matematika Paul Erdös II. Springer Berlin Heidelberg, 1997. 148-192.

— Rupei Xu

Jawaban:

Intuisi saya mengatakan itu mungkin benar, dan inilah batas bawah yang cocok (yaitu grafik yang harus Anda hapus setidaknya tepi untuk menjadi bipertit: $\frac{n^2}{25}$

$G=(V_1\cup V_2\cup V_3\cup V_4\cup V_5, (V_1\times V_2) \cup (V_2\times V_3) \cup (V_3\times V_4) \cup (V_4\times V_5) \cup (V_5\times V_1))$ ,. $|V_1| = |V_2| = |V_3| = |V_4| = |V_5|$

Grafik ini tentu saja bebas segitiga, tetapi jika tepi akan dihapus masih akan ada untuk beberapa simpul . $x<\frac{n^2}{25}$ $C_5=v_1\to v_2\to v_3\to v_4\to v_5 \to v_1$ $v_1\in V_1, v_2\in V_2, v_3\in V_3, v_4\in V_4, v_5\in V_5$

Adapun pertanyaan kedua, diketahui bahwa menghitung siklus sederhana panjang adalah $2k+1$ $\#W[1]-hard$ , sehubungan dengan , dan tidak dapat dihitung dalam waktu kecuali ETH gagal. $k$ $n^{o(k)}$

Namun, ada kemungkinan untuk memperkirakan jumlah siklus tersebut di . $O^*(2^{O(k)})$

— BPR
sumber

Apa arti "*" dalam ? Tampaknya kita memiliki harapan untuk menyelesaikannya. Terima kasih.

O * (2^{O (k)})

$O∗(2^{O(k)})$

— Rupei Xu

@ Saeed - sejauh yang saya tahu ini adalah singkatan dari , dan ini digunakan di banyak makalah ( misalnya ) dengan cara ini. Saya kenal dengan apa yang Anda maksud sebagai yang merupakan tulisan singkat untuk .

O^{*} (f (k))

$O^*(f(k))$

\tilde{O} (f (n))

$\widetilde O(f(n))$

O (f (n) p o l y l o g (f (n)))

$O(f(n)polylog(f(n)))$

— RB

OK, saya bisa melihat kertas Anda yang ditautkan tetapi tidak seperti cara Anda mengatakannya, tetapi misalnya melihat kertas ini: lamsade.dauphine.fr/ ~ portia / papers / SteinerTSP.pdf , menggunakan O * seperti yang saya maksud, beberapa pengganda yang jauh lebih kecil dari kekuatan aslinya, misalnya jika kita memiliki algoritma n ^ 3 logn kita dapat menuliskannya O * (n ^ 3), atau O (2 ^ nn), O (2 ^ n log n), ... tulis sebagai O * (2 ^ n), tetapi dalam kompleksitas parametrized saya tidak pernah melihat (atau saya tidak pernah memperhatikan) bahwa seseorang menulis O * (f (k)) yang berarti O (f (k) poly (n)), saya bisa seandainya itu O (f (k) poli (k)) tetapi di mana di O * (f (k)), mungkin saya salah.

n

$n$

— Saeed

Saya kira ada beberapa notasi berbeda yang digunakan dalam kompleksitas parameter. Contoh lain dapat dilihat di [kuliah algoritme parameter Stanford] ( stanford.edu/~rrwill/scribe5.pdf ). Sebenarnya, saya belum melihat penggunaan notasi luar kompleksitas parameter, jadi terima kasih telah membawanya ke perhatian saya :).

O^{*}

$O^*$

— RB

Terima kasih atas referensi Anda, menarik untuk melihat satu notasi dalam arti yang berbeda.

— Saeed

Salah satu pendekatan untuk membuktikan dugaan Anda adalah dengan mencoba menggunakan lemma keteraturan Szemerédi , mirip dengan cara lemma penghilangan segitiga terbukti (lihat misalnya di sini ). Saya tidak tahu apakah Anda akan mendapatkan konstanta yang tepat dari pendekatan ini.

— pangsit mobius
sumber

Dalam lemema keteraturan Szemerédi, biasanya diasumsikan sejumlah besar partisi, nilai pasti dari partisi tidak mudah didapat. Saya bertanya-tanya mungkin itu tidak bekerja di sini.

— Rupei Xu