Menipu fungsi simetris yang sewenang-wenang

Distribusi dikatakan ϵ -membodoh fungsi f jika | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ . Dan dikatakan menipu kelas fungsi jika menipu setiap fungsi di kelas itu. Hal ini diketahui bahwa ε ruang -biased menipu kelas paritas lebih himpunan bagian. (lihat Alon-Goldreich-Hastad-Peralta$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$untuk beberapa konstruksi ruang yang bagus). Pertanyaan yang ingin saya tanyakan adalah generalisasi dari ini ke fungsi simetris yang sewenang-wenang.

Pertanyaan: Misalkan kita mengambil kelas fungsi simetris yang sewenang-wenang atas beberapa subset, apakah kita memiliki distribusi (dengan dukungan kecil) yang membodohi kelas ini?

Beberapa pengamatan kecil:

• Cukup untuk mengelabui ambang yang pasti ( adalah 1 jika dan hanya jika x memiliki k yang tepat di antara indeks dalam S ). Setiap distribusi yang ε -fools ini ambang batas yang sebenarnya akan n ε menipu semua fungsi simetris lebih n bit. (Ini karena setiap fungsi simetris dapat ditulis sebagai kombinasi linear nyata dari ambang yang tepat ini di mana koefisien dalam kombinasi adalah 0 atau 1. Linearitas harapan kemudian memberi kita apa yang kita inginkan) Argumen serupa juga bekerja untuk ambang umum ( Th S k ( $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  adalah 1 jika dan hanya jika x memiliki setidaknya k di antara indeks dalam S )$\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$$S$

• Ada konstruksi eksplisit distribusi dengan dukungan melalui PRG Nisan untuk LOGSPACE .$n^{O(\log n)}$

• Sewenang-wenang -biased ruang tidak akan bekerja. Sebagai contoh jika S adalah himpunan semua x sehingga jumlah yang di x adalah non-nol mod 3, ini sebenarnya ε -biased untuk sangat kecil ε (dari hasil Arkadev Chattopadyay ). Namun yang jelas ini tidak menipu fungsi MOD3.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

Submasalah yang menarik mungkin sebagai berikut: misalkan kita hanya ingin mengelabui fungsi simetris atas semua indeks , apakah kita memiliki ruang yang bagus? Dengan pengamatan di atas, kita hanya perlu untuk menipu fungsi threshold lebih -bits, yang hanya keluarga n + 1 fungsi. Dengan demikian orang dapat memilih distribusi dengan kekerasan. Tetapi apakah ada contoh ruang yang lebih bagus yang mengelabui Th [ n ] k untuk setiap k ?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Ya, solusi umum untuk masalah ini baru-baru ini diberikan oleh Parikshit Gopalan, Raghu Meka, Omer Reingold, dan David Zuckerman, lihat Pseudorandom Generator untuk Bentuk Combinatorial .

Makalah itu menangani pengaturan yang bahkan lebih umum, di mana generator menghasilkan log m- bit blok, yang kemudian diumpankan ke fungsi boolean yang sewenang-wenang, yang n keluarannya kemudian diumpankan ke fungsi simetris boolean.$n$ $\log m$$n$

Berbagai sub-kasus sudah diketahui; lihat misalnya Generator Bit Pseudorandom yang Menipu Jumlah Modular , Halfspace Fool Kemandirian Terbatas , dan Generator Pseudorandom untuk Fungsi Ambang Batas Polinomial . Yang pertama menangani jumlah modulo . Pegangan kedua dan ketiga persis tes ambang yang Anda sebutkan, namun kesalahan tidak cukup baik untuk menerapkan alasan Anda untuk mendapatkan hasil untuk setiap fungsi simetris.$p$