Referensi yang bagus untuk operator kelas kompleksitas?

Saya tertarik jika ada artikel eksposisi yang bagus atau survei yang dapat saya rujuk ketika saya menulis tentang operator kelas kompleksitas : operator yang mengubah kelas kompleksitas dengan melakukan hal-hal seperti menambahkan quantifiers ke dalamnya.

Contoh operator

Berikut ini dapat diartikan sebagai daftar minimum operator yang jawabannya harus dapat diuraikan. Di sini, $\mathbf C$ adalah seperangkat bahasa yang arbitrer, lebih dari satu alfabet terbatas yang arbitrer $\Sigma$ .

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• The $\exists$ Operator rupanya diperkenalkan oleh Wagner [1], meskipun dengan notasi $\bigvee\! \mathbf C$ daripada$\exists \mathbf C$ . Contoh yang terkenal paling kelas dibangun dengan cara ini adalah$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ . Operator ini dilengkapi dengan quantifier pelengkap$\forall$ , di mana$\exists c$ dalam definisi digantikan oleh$\forall c$ , yang memungkinkan seseorang untuk dengan mudah menentukan seluruh hirarki polinomial: misalnya,$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$ . Ini mungkin operator pertama yang didefinisikan.

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• The Operator mirip dengan ∃ operator dalam yang ⊕ C menyangkut jumlah sertifikat yang ada yang diverifikasi di kelas C , tetapi menghitung jumlah certficiates modulo 2 . Ini dapat digunakan untuk mendefinisikan kelas ⊕ P dan ⊕ L . Operator serupa " M o d k ⋅ " ada untuk moduli k lainnya .$\oplus$$\exists$$\oplus\mathbf C$$\mathbf C$$2$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus L}$$\mathsf{Mod_k \cdot}$$k$

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• Ini adalah operator pelengkap, dan secara diam-diam digunakan untuk mendefinisikan , c o C = P , c o M o d k L , dan sejumlah kelas lain dari yang tidak diketahui ditutup dengan komplemen.$\mathsf{ coNP}$$\mathsf{coC_=P}$$\mathsf{coMod_kL}$

- dengan permintaan maaf untuk spasi$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

• The $\mathsf{BP}$ operator was apparently introduced by Schöning [2], albeit to define languages (i.e. he did not permit a probability gap) and without using the explicit constants $\tfrac{1}{3}$ or $\frac{2}{3}$. The definition here yields promise-problems instead, with YES-instances $\Pi_1$ and NO-instances in $\Pi_0$. Note that $\mathsf{BPP = BP\cdot P}$, and $\mathsf{AM = BP\cdot NP}$; this operator was used by Toda and Ogiwara [3] to show that $\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$.

Remarks

Operator penting lainnya yang dapat diabstraksi dari definisi kelas standar adalah (dari kelas C = P dan C = L ) dan C ⋅ C (dari kelas P P dan P L ). Hal ini juga tersirat dalam sebagian besar literatur bahwa F ⋅ (menghasilkan masalah fungsi dari kelas keputusan) dan # ⋅ (menghasilkan kelas penghitungan dari kelas keputusan) juga operator kompleksitas.$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

Ada sebuah artikel oleh Borchert dan Silvestri [4] yang mengusulkan untuk mendefinisikan operator untuk setiap kelas, tetapi yang tampaknya tidak banyak dirujuk dalam literatur; Saya juga khawatir bahwa pendekatan umum seperti itu mungkin memiliki masalah definisi halus. Mereka pada gilirannya merujuk pada presentasi yang baik oleh Köbler, Schöning, dan Toran [5], yang sekarang sudah berusia lebih dari 20 tahun, dan juga sepertinya ketinggalan .$\oplus$

Pertanyaan

Buku atau artikel apa yang merupakan referensi yang bagus untuk operator kelas kompleksitas?

Referensi

[1]: K. Wagner, Kompleksitas masalah kombinatorial dengan representasi input yang ringkas , Acta Inform. 23 (1986) 325–356.

[2]: U. Schöning, kelas kompleksitas Probabilitas dan rendahnya nilai , di Proc. Konferensi IEEE ke-2 tentang Struktur dalam Teori Kompleksitas, 1987, hlm. 2-8; juga di J. Comput. System Sci., 39 (1989), hlm. 84-100.

[3]: S. Toda dan M. Ogiwara, Menghitung kelas setidaknya sekeras hirarki waktu polinomial , SIAM J. Comput. 21 (1992) 316–328.

[4]: B. dan Borchert, R. Silvestri, operator Dot , Theoretical Computer Science Volume 262 (2001), 501–523.

[5]: J. Köbler, U. Schöning, dan J. Torán, The Graph Isomorphism Problem: Kompleksitas Strukturalnya, Birkhäuser, Basel (1993).

Berikut ini adalah referensi dengan banyak definisi operator (meskipun tidak banyak detail):

S. Zachos dan A. Pagourtzis, Kompleksitas Kombinasi: Operator pada Kelas Kompleksitas , Prosiding Simposium Logika Panhellenic ke-4 (PLS 2003), Thessaloniki, 7-10 Juli 2003.

• Ini mendefinisikan operator identitas , serta operator c o -, N (sesuai dengan ∃ di atas), B P , R (terkait dengan kesalahan satu sisi terikat), ⊕ , U (sesuai dengan non-determinisme dengan penerimaan unik transisi), P (terkait dengan kesalahan dua sisi tak terbatas), dan Δ (yang untuk kelas C membentuk C ∩ c o C ).$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• Itu menunjukkan bahwa:

  1. adalah elemen identitas sehubungan dengan komposisi [Definisi 1];$\mathcal E$
  2. - adalah kebalikan diri [Definisi 2];$\mathsf{co}$
  3. $\mathsf{N}$ is idempotent [Definition 3] — implicit is that $\mathsf{BP}$, $\mathsf{R}$, $\oplus$, $\mathsf U$, and $\mathsf{P}$ are also idempotent;
  4. $\mathsf{BP}$ and $\mathsf{P}$ commute with $\mathsf{co}$-  [Definitions 4 and 8], while $\oplus$ is invariant under right-composition with $\mathsf{co}$- [Definition 6];
  5. The above operators are all monotone (that is, ${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$ for all operators $\mathcal O$ above):

Throughout, it also describes a handful of ways that these operators relate to traditional complexity classes, such as $\mathsf{\Sigma^p_2 P}$, $\mathsf{ZPP}$, $\mathsf{AM}$, $\mathsf{MA}$, etc.

As an introductory reference to the notion of a complexity operator (and demonstrating some applications of the idea), the best I have found so far is

D. Kozen, Theory of Computation (Springer 2006)

which is derived from lecture notes on computational complexity and related topics. On page 187 ("Supplementary Lecture G: Toda's Theorem"), he defines the operators

• $\mathsf R$ (for random certificates with bounded one-sided error, as in the class $\mathsf{RP}$)
• $\mathsf{BP}$ (for random certificates with bounded two-sided error, see above)
• $\mathsf P$ (for random certificates with unbounded error, c.f. $\mathsf C$ in the remarks above)
• $\oplus$ (for an odd number of certificates, see above)
• $\Sigma^{\mathrm{p}}$ (for existence of polynomial-length certificates, c.f. $\exists$ above)
• $\Sigma^{\mathrm{log}}$ (for existence of $O(\log n)$-length certificates, c.f. $\exists$ above)
• $\Pi^{\mathrm{p}}$ and $\Pi^{\mathrm{log}}$ (complementary operators to $\Sigma^{\mathrm{p}}$ and $\Sigma^{\mathrm{log}}$: see remarks on $\forall$ above)
• $\#$ (defining a counting class, c.f. remarks above)

and tacitly defines $\mathsf{co\text-}$ on page 12 in the usual way.

Kozen's treatment of these operators is enough to indicate how they are connected with the "usual" complexity classes, and to describe Toda's theorem, but does not much discuss their relationships and only mentions them for a total of 6 pages (in what is after all a book covering a much wider topic). Hopefully someone can provide a better reference than this.