Berapa banyak contoh 3-SAT yang memuaskan?

28

Pertimbangkan masalah 3-SAT pada n variabel. Jumlah klausa berbeda yang mungkin adalah:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Jumlah kasus masalah adalah jumlah semua himpunan bagian dari himpunan mungkin klausa: . Secara sepele, untuk setiap , ada setidaknya satu instance yang memuaskan dan satu instance tidak memuaskan. Apakah mungkin untuk menghitung, atau setidaknya memperkirakan, jumlah instance yang memuaskan untuk setiap n yang diberikan? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
sumber

Lihat juga pertanyaan terkait cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

Apakah Anda keberatan menjelaskan bagaimana Anda mendapatkan formula penghitungan? Di mana 3? berasal dari, dll?

— Yan King Yin

Pertanyaan pemula lainnya: jika jumlah total konfigurasi (yaitu, penugasan kebenaran) adalah , ini berarti banyak penugasan kebenaran tidak dapat diungkapkan dengan contoh masalah apa pun. Itu kontra-intuitif bagi pengetahuan saya bahwa formula boolean lengkap dalam arti bahwa mereka dapat mengungkapkan tabel kebenaran apa pun. Apa yang terjadi di sini?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

27

Sejarah panjang kerja pada transisi fase dalam SAT telah menunjukkan bahwa untuk setiap tetap , ada ambang batas yang ditentukan oleh rasio jumlah klausa dengan yang menentukan kepuasan. Secara kasar, jika rasionya kurang dari 4,2, maka dengan probabilitas yang luar biasa contohnya memuaskan (dan karenanya sebagian besar dari jumlah instance dengan banyak klausa dan variabel ini memuaskan). Jika rasio sedikit di atas 4.2, maka kebalikannya memegang - sebagian besar contoh tidak memuaskan. $n$ $n$

Referensi terlalu banyak untuk dikutip di sini: satu sumber informasi adalah buku karya Mezard dan Montanari . Jika ada yang punya sumber survei dll tentang topik ini, mereka dapat mempostingnya di komentar atau mengedit jawaban ini (saya akan membuatnya menjadi CW)

Referensi:
- Survei Achlioptas
- Di mana masalah yang benar-benar sulit
- Memperbaiki transisi fase dalam pencarian kombinatorial

— Suresh Venkat
sumber

Ini sangat menarik. Apa "probabilitas yang luar biasa?" Apakah ini sekitar 75%, atau 99,9999%?

— Philip White

Saya tidak ingat, jujur saja. itu ditentukan oleh jarak rasio dari titik switchover, dan bertindak seperti sigmoid (jadi ia pergi ke 1 dengan sangat cepat). Survei terkait mungkin memiliki lebih banyak detail

— Suresh Venkat

1

@ Pilip, Suresh: Ya itu "diskontinuitas" yang sangat cepat. Jika Anda melihat plot, probabilitas untuk puas berubah tiba-tiba dari hampir 1 menjadi hampir 0. Menarik bahwa ambang bergantung pada . Juga, menarik bahwa semua perilaku ini tampaknya hanya berlaku untuk kejadian acak.

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

Di satu sisi, sebagian besar contoh tidak akan memuaskan, seperti yang dikatakan dalam komentar Suresh. (Faktanya, saya kira jika Anda mengambil satu contoh secara seragam secara acak, Anda seharusnya sudah memiliki kemungkinan yang baik untuk memasukkan semua delapan negasi sebagai klausa untuk beberapa variabel tiga, yaitu, hal-hal sepele yang tidak memuaskan.) $2^{|C|}$

Di sisi lain, kita dapat membatasi jumlah instance yang memuaskan dengan jumlah yang dipenuhi oleh semua-nol tugas: ini akan menjadi , karena untuk setiap triplet variabel ada adalah salah satu klausa yang tidak dapat kita gunakan. $2^{(7/8)|C|}$

Seseorang kemudian dapat membatasi jumlah instance yang memuaskan dengan mengalikannya dengan . Karena , saya kira ini hanya mengubah istilah pesanan kecil ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
sumber

Ketika saya pertama kali memulai studi PhD saya, saya menunjukkan bahwa jika jumlah klausa untuk SAT lebih besar dari maka contoh-contoh itu tidak memuaskan. Saya juga membuktikan bahwa jika jumlah klausa berada di antara interval maka contoh-contoh tersebut dapat secara unik memuaskan atau tidak memuaskan. Saya tidak ingat derivasi untuk 3-SAT di bagian atas kepala saya. Oke

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun Bayar

4

Jawaban ini hanya berkaitan dengan tingkat pertumbuhan jumlah instance yang memuaskan.

Himpunan jarang jika jumlah string n-bit dalam himpunan dibatasi oleh (untuk beberapa konstanta ) selain itu padat. Diketahui bahwa satisfiability (NP-complete) dan Unsatisfiability (CoNP-complete) keduanya merupakan set yang padat. Ada set lengkap lengkap iff . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
sumber