Kompleksitas komputasi pi

Membiarkan

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(di mana $n$ dianggap dikodekan dalam biner). Lalu apa yang bisa kita katakan tentang kompleksitas komputasi $L$ ? Jelas bahwa $L\in\mathsf{EXP}$ . Dan jika saya tidak salah, algoritma "BBP-type" yang luar biasa untuk menghitung bit menggunakan waktu quasilinear dan memori, tanpa harus menghitung bit sebelumnya, hasilkan . $n^{th}$ $\pi$ $(\log n)^{O(1)}$ $L\in\mathsf{PSPACE}$

Bisakah kita berbuat lebih baik, dan menempatkan $L$ (katakanlah) dalam hierarki penghitungan? Di arah lain, apakah ada hasil kekerasan apa pun untuk $L$ (bahkan yang sangat lemah, seperti $\mathsf{TC}^0$ -kekerasan)?

Bahasa terkait yang menarik adalah

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(di mana lagi, $t$ ditulis dalam biner). Kita punya

$L' \in \mathsf{NP}^L$

dan karenanya $L' \in \mathsf{PSPACE}$ ; Saya akan sangat tertarik jika sesuatu yang lebih baik diketahui.

cc.complexity-theory na.numerical-analysis

— Scott Aaronson
sumber

(1) Karena adalah angka transendental yang paling terkenal, dan banyak yang diketahui tentangnya. (2) Karena saya ingin contoh nyata. (Tentu saja, saya juga akan sangat tertarik pada pertanyaan analog untuk , , dll., Sejauh mana jawabannya berbeda.) (3) Karena, untuk Chaitin's , saya sudah tahu jawabannya : yaitu, menghitung digit biner tidak dapat dihitung! (Dan aku menduga itu mungkin untuk memberikan pengurangan yang menunjukkan bahwa masalah pencarian subsequence adalah uncomputable juga untuk ... ada yang melihat bagaimana?)

π

$\pi$

e

$e$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Ω

$\Omega$

n^{t h}

$n^{th}$

Ω

$\Omega$

— Scott Aaronson

@ScottAaronson, saya pikir kita bisa mengulang semua string panjang dan bertanya apakah dalam bahasa; ini memberikan kita semua pertama bit .

x

$x$

t

$t$

⟨ x, t ⟩

$\langle x, t \rangle$

t

$t$

Ω

$\Omega$

— usul

Saya memiliki bahasa "number-theory-style" yang serupa: :-)

L = {n ∣ the second lower bit of the n -th prime number is 1}

$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

Ngomong-ngomong, saya memeriksa Weihrauch, pada akhir bagian 7.2 menyatakan bahwa bit ke-n fungsi trigonometri dan inversnya dapat dihitung dalam waktu menggunakan representasi -digit yang ditandatangani (memungkinkan dalam Selain dan sebagai digit) pada himpunan bagian kecil dari domain mereka. ( adalah kompleksitas perkalian integer biner.)

t_{m} (n) \lg n

$t_m(n) \lg n$

- 1

$-1$

0

$0$

1

$1$

t_{m}

$t_m$

— Kaveh

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

Oke, James Lee telah mengarahkan saya ke makalah 2011 oleh Samir Datta dan Rameshwar Pratap, yang membuktikan bahwa bahasa saya (penyandian digit ) berada di tingkat keempat hierarki penghitungan ( ; terima kasih kepada SamiD di bawah ini karena menunjukkan hilang di koran, yang saya ulangi saja dalam jawaban saya! ). Makalah ini juga secara eksplisit membahas pertanyaan saya tentang batas bawah pada kompleksitas menghitung angka biner dari angka irasional, meskipun hanya berhasil membuktikan batas bawah yang sangat lemah untuk menghitung angka biner angka rasional . Ini persis apa yang saya cari. $L$ $\pi$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$ $\mathsf{PP}$

Pembaruan (3 April): Konsekuensi lucu dari digit yang dapat dihitung dalam hierarki penghitungan adalah sebagai berikut. Misalkan adalah angka normal (yang ekspansi binernya menyatu dengan cepat menjadi "efektif acak"), dan anggap itu (dengan simulasi yang hanya melibatkan overhead polinomial kecil). Maka akan layak untuk memprogram komputer Anda untuk menemukan, misalnya, kemunculan pertama karya lengkap Shakespeare dalam ekspansi biner dari . Jika itu terdengar tidak masuk akal bagi Anda, maka mungkin itu harus diambil sebagai bukti tambahan bahwa . :-) $\pi$ $\pi$ $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ $\pi$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

— Scott Aaronson
sumber

OK, tapi katanya aku harus menunggu 5 jam sebelum melakukannya!

— Scott Aaronson

BTW, Makalah yang disebutkan di atas pada dasarnya mengurangi masalah menjadi dan salah mengutip batas sebagai . Batas yang paling dikenal saat ini adalah seperti yang ditunjukkan di sini: eccc.hpi-web.de/report/2013/177

B i t S L P

$\mathsf{BitSLP}$

P H^{P P^{P P}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$

P H^{P P^{P P^{P P}}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD