Bisakah kita mengurutkan tanpa permutasi?

Sudah diketahui bahwa mengurutkan permutasi dengan transposisi ada di , karena jumlah minimum transposisi yang diperlukan untuk mengurutkan adalah . Gagasan "angka inversi" ini juga memiliki aplikasi dalam kombinatorik aljabar, misalnya memungkinkan untuk memberikan dengan struktur kisi, yang disebut permutohedron dan berdasarkan pada urutan Bruhat yang lemah.$\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$$S_n$

Ini dapat menjelaskan untuk menyusun kembali masalah dalam istilah teori-kelompok. Kami diberi grup dengan generator set dan pemetaan , dan grup di mana bertindak secara transitif, dan kami ingin menyelesaikan masalah berikut: diberikan , cari panjang minimum sedemikian rupa sehingga . Dalam kasus permutasi, dan adalah himpunan transposisi.$G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$$G = H = S_n$$\Gamma$

Pertanyaan: apakah ada contoh lain dari masalah ini yang menerima algoritma yang efisien?

Saya tidak memiliki jawaban yang pasti untuk pertanyaan Anda, tetapi "pengurutan jalinan" tampaknya merupakan kandidat yang memungkinkan. Menurut entri wikipedia ini kita dapat mendefinisikannya sebagai berikut. Biarkan menjadi grup, dan biarkan$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: Kompleksitas Menemukan Urutan Generator Minimum-Panjang. Teor Komputasi. Sci. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$