Apakah grafik dengan sejumlah besar jalur mengandung rantai besar minor?

Definisi: A " $k$ -chain" adalah multi-grafik yang diperoleh dari lintasan panjangdengan menduplikasi setiap sisi. $k$

Perhatikan bahwa jumlah jalur antara dua titik akhir dari rantai adalah $k$ $2^k.$

Pertanyaan: Misalkan adalah graf sederhana pada n node dan biarkan dan menjadi dua node dari Misalkan jumlah (sederhana) jalur dari s ke t di setidaknyaLalu, apakah mungkin untuk mendapatkan dari dengan ( dan sebagai titik akhir) dengan urutan penghapusan dan kontraksi tepi? $G$ $s$ $t$ $G.$ $G$ $n^k.$ $\Omega(k)$ $G$ $s$ $t$

Jika jawabannya positif, maka bagian kedua dari pertanyaan adalah apakah ada algoritma yang efisien untuk mendapatkan rantai sebesar itu.

Saya akan sama senangnya dengan -chain atau untuk setiap $\sqrt k$ $k^\alpha$ $\alpha >0.$

Saya akan menghargai jawaban parsial atau intuisi apa pun mengenai dugaan seperti itu.

Saya telah memposting ini pada matematika melimpah beberapa hari yang lalu. Seseorang menyarankan untuk mempostingnya di sini juga.

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

graph-theory graph-algorithms graph-minor

— Raghav Kulkarni
sumber

Mungkin perlu memeriksa grafik berlian rekursif untuk melihat apakah itu adalah contoh penghitung. cstheory.stackexchange.com/questions/10169/…

— Chandra Chekuri

Itu adalah grafik yang menarik. Meskipun, menurut saya ini mungkin bukan contoh tandingan untuk " -chain Conjecture". Namun, mungkin untuk " -chain dugaan" ini mungkin. Belum yakin.

k^{α}

$k^\alpha$

Ω (k)

$\Omega(k)$

— Raghav Kulkarni

Ini bukan contoh penghitung bahkan untuk , karena jika itu contoh contoh untuk maka derajat paling banyak , dan panjang terpanjang jalur adalah , maka tidak ada jalan st, kecuali bahwa kita mengira , kasus terakhir, sekali lagi tidak mungkin (sebenarnya n adalah f (k) dalam grafik itu, tetapi itu tidak mengarah pada kontradiksi ke teorema, karena adalah fungsi eksponensial).

Ω (k)

$\Omega(k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$

s

$s$

O (k)

$O(k)$

s, t

$s,t$

O (k)

$O(k)$

n^{k}

$n^k$

n = f (k)

$n=f(k)$

f

$f$

— Saeed

Contoh tandingan diposting di MathOverflow: mathoverflow.net/questions/161451/... Saya masih merasa bahwa modifikasi "benar" dari pertanyaan itu mungkin benar, setidaknya untuk beberapa kelas grafik alami seperti grafik planar.

— Raghav Kulkarni

Satu variasi mungkin adalah ini: setiap grafik yang terhubung dengan

berisi rantai-

, tetapi ini adalah variasi yang sangat jelas.

k

$k$

k

$k$

— Saeed

Jawaban:

Sepertinya ini adalah algoritma FPT untuk diperbaiki . Pertama-tama kita dapat mempertimbangkan sebuah blok yang berisi . Jika kita memiliki kotak minor yang berisi maka kita dapat menemukan rantai yang sesuai. Seperti sebaliknya, seperti Chekuri et al. ditunjukkan, grafik memiliki lebar pohon paling banyak mana $k$ $s,t$ $k\times k$ $s,t$ $O(k^{1/\delta})$ $\delta > 0$ konstan. Jadi kita dapat menghitung dekomposisi pohon grafik lalu memeriksa apakah rantai itu ada atau tidak. Saya tidak yakin apakah dengan pemrograman dinamis biasa pada grafik lebar pohon terbatas dimungkinkan untuk menemukan rantai. Juga jika tidak dibatasi lebar pohon, algoritme mereka dapat menemukan kisi yang sesuai dalam waktu polinomial.

PS: Perhatikan bahwa saya tidak menggunakan fakta bahwa ada st jalan, mungkin oleh beberapa trik dalam fakta ini adalah mungkin untuk mendapatkan algoritma yang lebih baik. $n^k$

— Saeed
sumber

Jadi Anda mengatakan bahwa "rantai terbesar yang dapat diperoleh dengan penghapusan-kontraksi" tampaknya dapat diperbaiki parameternya. Itu menarik! Meskipun, ini tidak mengatakan apa-apa tentang keberadaan rantai besar sebagai konsekuensi dari memiliki sejumlah besar jalur.

— Raghav Kulkarni

@RaghavKulkarni, Ya, saya pikir begitu, saya tidak begitu yakin, hanya tergantung pada apakah mungkin untuk merumuskan masalah sebagai MSO_2 atau memberikan pendekatan pemrograman dinamis untuk kasus lebar pohon dibatasi, sebenarnya masalah Anda tampaknya ada dalam kategori masalah dua kali.

— Saeed

Kami juga tidak memerlukan grid yang sangat besar seperti

karena kami hanya mencari case kecil, hanya jalur

, jadi mungkin untuk meningkatkan waktu berjalan (saya pikir jauh lebih baik, dan bahkan mungkin dalam

, Maksud saya jika sesuatu seperti poli log k bekerja maka itu sangat bagus atau dalam algoritma FPT subeksponensial).

K \times K

$K\times K$

2^{k}

$2^k$

P

$P$

— Saeed

contoh tandingan di atas diposting di MathOverflow:

/mathpro/161006/do-graphs-with-large-number-of-ikes-always-contain-large-necklace-minor

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor?lq=1

Adakah modifikasi pertanyaan "benar" yang masih berlaku?

— Raghav Kulkarni
sumber