Kesenjangan yang dapat dibuktikan antara kompleksitas pohon keputusan dan kompleksitas "benar"

Judulnya sedikit menyesatkan: tapi semoga pertanyaannya bukan:

Hasil baru Grønlund dan Pettie menunjukkan bahwa 3SUM hanya memiliki kompleksitas pohon keputusan membuat saya bertanya-tanya: $O(n^{3/2})$

Apakah ada contoh sederhana dari masalah dengan kompleksitas pohon keputusan tetapi mengakui batas bawah (dalam model yang lebih rinci) dari ? $O(f)$ $\omega(f)$

Dengan kata lain, bagaimana seharusnya hasil pada 3SUM mengubah pandangan kita tentang kemungkinan mendapatkan batas yang jauh lebih rendah daripada pada kompleksitas masalah? $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Suresh Venkat
sumber

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Model pohon keputusan adalah model teori informasi: Setelah Anda mempelajari informasi yang cukup tentang input Anda, maka jawabannya ditentukan secara unik dari informasi ini, Anda selesai. Tidak masalah jika menentukan jawaban dari informasi ini tidak dapat ditentukan. Jadi misalnya jika inputnya adalah string biner n-bit yang mengkodekan mesin Turing, dan pertanyaannya adalah apakah TM ini berhenti, pohon keputusan kedalaman n dapat dengan mudah menyelesaikan masalah ini karena ia mengetahui semua n bit, tetapi tidak ada algoritma yang dapat menyelesaikan masalah ini.

— Robin Kothari

Mungkin saya seharusnya mengatakan 'contoh masalah sederhana' sebagai gantinya :).

— Suresh Venkat

Jawaban:

$O(n^4\log n)$

— Jeffε
sumber

Jika saya ingin menjadi BENAR-BENAR PEDANTIK saya akan menunjukkan bahwa menjadi NP-keras bukan batas bawah perusahaan. tapi itu contoh yang bagus dari semangat apa yang saya cari.

— Suresh Venkat

Ya, tapi kami tidak tahu bagaimana membuktikan batas bawah perusahaan.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Apakah Anda mungkin tahu tulisan yang bagus atau penjelasan tentang hasil ini? Saya menemukan aslinya sangat sulit untuk diikuti, beberapa definisi tidak jelas sama sekali bagi saya.

— domotorp

Setidaknya definisi dasar dijelaskan dalam makalah saya tentang masalah degenerasi linier .

— Jeffε

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— Seth Pettie
sumber

Biarkan saya sedikit tidak setuju. Dalam model RAM, kita tidak perlu membaca seluruh input. Dalam model mesin Turing, ada banyak masalah sepele yang dapat diselesaikan lebih cepat dengan pohon keputusan (atau pada mesin RAM). Lihat juga komentar Robin terhadap pertanyaan awal.

— domotorp