Apakah teorema Kannan menyiratkan bahwa NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Saya sedang membaca kertas Buhrman dan Homer "Sirkuit Superpolynomial, Oracle Hampir Jarang dan Hirarki Eksponensial" .

Di bagian bawah halaman 2 mereka berkomentar bahwa hasil Kannan menyiratkan bahwa $NEXPTIME^{NP}$ tidak memiliki sirkuit ukuran polinomial. Saya tahu bahwa dalam hierarki waktu eksponensial, $NEXPTIME^{NP}$ hanya $\Sigma_2EXP$ , dan saya juga tahu bahwa hasil Kannan adalah $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ sehingga $L \not\in Size(n^c)$ . Tentu saja, teorema Kannan BUKAN mengatakan $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ (agar itu menjadi kasus kita perlu menunjukkan bahwasehingga,. Namun, saya tidak melihat bagaimana hasil Kannan menyiratkan bahwa? $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

Mungkin itu lebih tepat untuk cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, terima kasih. Jika moderator berpikir itu lebih tepat untuk cstheory.se, maka jangan ragu untuk memindahkannya.

Ini juga saat ini pada set masalah cs354 ...: - / ... Saya secara eksplisit menginstruksikan siswa untuk tidak bertanya internet, jadi "Lorraine" lebih baik berharap mereka tidak mengambil kelas saya.

— Ryan Williams

@ Sasho, saya pikir akan lebih baik untuk melakukannya, setidaknya sampai setelah batas waktu penugasan.

— Kaveh

@ Turbo Saya kira saya mungkin juga, mudah-mudahan ini bukan pada masalah orang lain yang ditetapkan saat ini.

— Sasho Nikolov

Versi jawaban ini menggabungkan umpan balik dari Emil Jeřábek.

Sejauh yang saya bisa lihat, twist utama adalah bahwa ada bahasa di dari kompleksitas rangkaian eksponensial. Secara khusus, perbaiki pengkodean biner dari sirkuit boolean dan tentukan sebagai bahasa yang didefinisikan oleh $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

tidak diputuskan oleh sirkuit dari ukuran , dan $L_n$ $2^{n/2}$

bahasa apa pun yang mendahului leksikografis ditentukan oleh beberapa sirkuit dengan ukuran paling banyak , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

di mana notasi berarti irisan . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Untuk melakukan ini dalam waktu eksponensial dengan oracle, Anda dapat menggunakan pencarian biner atas subset (anggap mereka sebagai bilangan bulat bit) untuk menemukan set yang pertama yang memiliki kompleksitas sirkuit . Anda tinggal menyimpan perkiraan , dan menggunakan oracle untuk menguji apakah ada dari kompleksitas rangkaian setidaknya . Karena ini memberikan mesin di $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ yang menuliskan seluruh slice , jelas kami juga dapat memutuskan keanggotaan dalam , dan, karena itu, dalam. $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Ini sangat mirip dengan argumen Kannan, tetapi ditingkatkan dan dirampingkan untuk menggunakan waktu eksponensial. Maka Anda harus dapat menggunakan versi yang ditingkatkan dari teorema Karp-Lipton untuk menunjukkan bahwa jika , maka , dan Anda dapat melakukan analisis kasus dalam bukti Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
sumber

AFAICS, uraian Anda, secara langsung memberikan bahasa

, bukan

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek Otak saya tidak pernah bisa memproses mesin oracle. Saya mengukur kedalaman empat:

berada di

jika ada sirkuit

ukuran

sehingga

dan [untuk semua sirkuit

ukuran

ada ada kata

yang

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

] dan [untuk semua

yang mendahului

dalam urutan lex terdapat sirkuit

paling banyak

st untuk semua

]. Ini tampaknya menjadi tingkat keempat dari hierarki eksponensial. Apa itu dalam notasi oracle?

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$

— Sasho Nikolov

Pertama, "ada kata ..." dan quantifier universal yang serupa di dekat akhir tidak dihitung karena ukurannya linier, karenanya mereka dapat dihitung secara deterministik dalam waktu eksponensial. Kedua, quantifier terluar dapat disimulasikan secara deterministik dalam waktu eksponensial menggunakan pencarian biner.

— Emil Jeřábek 3.0

Artinya, leksikografi pertama Boolean fungsi

pada

input yang tidak memiliki sirkuit ukuran

dapat ditemukan dengan eksponensial-waktu pencarian biner dengan oracle untuk predikat "terdapat fungsi

leksikografi sebelumnya

yang tidak dihitung dengan ukuran sirkuit

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek 3.0

@SashoNikolov Jadi masih berfungsi sejak

. Namun kita tidak dapat menggunakan jika

kemudian menerapkan Karp-Lipton di cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Jadi kita punya

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$ dan

. Ini tidak bekerja untuk

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....