Atur Penutup dengan ukuran persimpangan dibatasi

Jadi, masalah cover set sepele jika tidak ada set kandidat berpotongan satu sama lain.

Namun, bagaimana jika ukuran persimpangan untuk setiap pasangan calon paling banyak 1? Apakah ini masalah NP-hard?

Saya sangat menghargai wawasan apa pun.

Terima kasih, Garrett

Jika saya tidak melewatkan sesuatu, Anda dapat menggunakan pengurangan dari SINGLE OVERLAP RESTRICTED EXVER COVER DENGAN 3 SETS (SINGLE OVERLAP RX3C) yang saya terbukti sebagai NPC dalam pertanyaan ini .

SAMPUL SAMPAI DENGAN TIGA SET (X3C):

Misalnya : Set dan koleksi C = { C 1 , . . . , C m } dari subset 3-unsur X . Pertanyaan : Apakah C berisi penutup yang tepat untuk X , yaitu subkoleksi C ′ ⊆ C sehingga setiap elemen X terjadi tepat pada satu anggota $X=\{x_1,x_2,...,x_{3q}\}$$C=\{C_1,...,C_m\}$$X$
$X$$C′\subseteq C$$X$ ?$C′$

X3C adalah NP-complete (lihat G&J), dan seperti yang ditunjukkan pada [1] itu tetap NP-complete bahkan jika setiap elemen terkandung dalam tepat 3 himpunan bagian C (COAT EKSPRES YANG DIPULIHKAN OLEH THREE SETS, RX3C).$x_i$$C$

Saya membuktikan bahwa itu tetap melengkapi NP bahkan jika setiap pasangan himpunan bagian dalam berbagi paling banyak satu elemen; yaitu untuk semua i ≠ j , | C i ∩ C j | ≤ 1 (Saya menyebut versi terbatas ini SINGLE OVERLAP RX3C).$C$$i\neq j$$|C_i \cap C_j|\leq 1$

SET SAMPUL DENGAN dibatasi SIMPANG UKURAN 1 (versi keputusan) hanyalah sebuah generalisasi dari TUNGGAL OVERLAP RX3C, memang Anda dapat memilih alam semesta yang sama dan koleksi yang sama dari himpunan bagian C 1 , . . . C m dari TUNGGAL OVERLAP RX3C dan meminta penutup dengan q himpunan bagian atau kurang.$X$$C_1,...C_m$$q$

Jelas penutup dengan himpunan bagian tidak bisa eksis karena setiap bagian mengandung tiga unsur dan ada 3 q elemen di X . Sebuah penutup dengan q subset harus sama persis: jika dua himpunan bagian mengandung unsur bersama maka ada kurang dari 3 q elemen tertutup.$< q$$3q$$X$$q$$3q$

[1] Teofilo F. Gonzalez: Clustering untuk Meminimalkan Jarak Intercluster Maksimum. Teor Komputasi. Sci. 38: 293-306 (1985).