Membedakan antara dua koin

Diketahui bahwa kompleksitas membedakan koin $\epsilon$ bias dari yang adil adalah $\theta(\epsilon^{-2})$ . Apakah ada hasil untuk membedakan koin $p$ dari koin $p+\epsilon$ ? Saya dapat melihat bahwa untuk kasus khusus $p=0$ , kompleksitasnya adalah $\epsilon^{-1}$ . Saya punya firasat bahwa kompleksitas akan tergantung pada apakah $p$ adalah urutan $\epsilon$ , tetapi tidak dapat membuktikan dengan ketat. Ada petunjuk / referensi?

Saya sarankan Anda menggunakan kerangka kerja yang ditemukan di makalah berikut:

Seberapa Jauh Kita Dapat Melampaui Kriptanalisis Linier? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

Hasil penting mengatakan bahwa Anda perlu , di mana D ( D $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ adalah jarak Kullback-Leibler antara dua distribusi D 0 dan D 1 . Memperluas definisi jarak KL, kami melihat bahwa dalam kasus Anda$D(D_0 \,||\, D_1)$$D_0$$D_1$

$$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$$

dengan konvensi bahwa .$0 \log \frac0p = 0$

Ketika , kami menemukan D ( D $p \gg \epsilon$ . Jadi, ketika p ≫ ϵ , kami menemukan bahwa Anda memerlukan n ∼ p ( 1 - p ) / ϵ 2 koin terbalik. Ketika p = 0 , kami menemukan D ( D $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$$p \gg \epsilon$$n \sim p(1-p)/\epsilon^2$$p = 0$ , jadi Anda perlu n ∼ 1 / ϵ membalik koin. Dengan demikian, rumus ini konsisten dengan kasus khusus yang sudah Anda ketahui tentang ... tetapi ia digeneralisasikan ke semua n , ϵ .$D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$$n \sim 1/\epsilon$$n,\epsilon$

Untuk pembenaran, lihat kertas.

---

Saat , pembenarannya mudah dilakukan dengan tangan. Dengan n pengamatan, jumlah kepala adalah Binomial ( n , p ) atau Binomial ( n , p + ϵ ) , jadi Anda ingin mencari yang terkecil n sehingga dua distribusi ini dapat dibedakan.$p \gg \epsilon$$n$$\text{Binomial}(n,p)$$\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$$n$

Anda dapat memperkirakan keduanya dengan Gaussian dengan mean dan varians yang tepat, dan kemudian menggunakan hasil standar pada kesulitan membedakan dua Gaussians, dan jawabannya harus keluar. Perkiraannya baik-baik saja jika atau lebih.$p \ge 5/n$

Secara khusus, ini turun ke membedakan dari N ( μ 1 , σ 2 1 ) di mana μ 0 = p n , μ 1 = p + ϵ ) n , σ 2 0 = p ( 1 - p ) n , σ 2 1 = ( p + ϵ $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$$\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$$\mu_0 = pn$$\mu_1 = p+\epsilon)n$$\sigma_0^2 = p(1-p)n$$\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$$\text{erfc}(z)$$z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$$z \sim 1$$n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$$p \gg \epsilon$

Untuk kasus umum ... lihat kertasnya.