Perkiraan masalah # P-hard

9

Pertimbangkan masalah klasik # P-complete # 3SAT, yaitu untuk menghitung jumlah penilaian untuk membuat 3CNF dengan variabel yang memuaskan. Saya tertarik pada perkiraan aditif . Jelas, ada algoritma sepele untuk mencapai -error, tetapi jika , apakah mungkin untuk memiliki algoritma perkiraan yang efisien, atau masalah ini juga # P-hard ? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— pengguna0928
sumber

Jika

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$ , maka ada algoritma poly-time dengan additive error

k

$k$ . Jika

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$ , maka akan ada algoritma waktu-acak secara acak dengan kesalahan aditif

k

$k$ . Ketika

k

$k$ secara signifikan lebih kecil (tetapi tidak secara polinomi kecil), saya berharap itu menjadi NP-hard, tetapi tidak # P-hard, karena #P hardness biasanya bergantung pada itu menjadi perhitungan yang tepat.

— Thomas

Bisakah Anda memberikan referensi untuk dua klaim pertama? Maaf saya pemula ...

— user0928

10

Kami tertarik pada perkiraan aditif ke # 3SAT. yaitu diberi 3CNF $\phi$ pada $n$ variabel menghitung jumlah tugas yang memuaskan (sebut ini $a$ ) hingga kesalahan aditif $k$ .

Berikut adalah beberapa hasil dasar untuk ini:

Kasus 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Di sini ada algoritma waktu-deterministik: Misalkan . Sekarang evaluasi pada input sembarang (misal input pertama secara leksikografis ). Misalkan dari input ini memenuhi . Kemudian kita tahu karena setidaknya ada tugas yang memuaskan dan karena setidaknya ada tugas yang tidak memuaskan. Panjang interval ini adalah . Jadi jika kita menampilkan titik tengah ini berada dalam $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$ dari jawaban yang benar, seperti yang dipersyaratkan.

Kasus 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Di sini kami memiliki algoritma waktu-acak: Evaluasi pada titik acak . Biarkan dan . Kami menghasilkan . Agar ini memiliki kesalahan paling banyak kita perlu yang setara denganDengan ikatan Chernoff , seperti $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ . Ini menyiratkan bahwa, jika kita memilih (dan memastikan adalah kekuatan ), maka dengan probabilitas setidaknya , kesalahan paling banyak adalah .

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Kasus 3: untuk $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

Dalam hal ini masalahnya adalah # P-hard: Kami akan melakukan pengurangan dari # 3SAT. Ambil 3CNF pada variabel . Pilih sedemikian hingga - ini membutuhkan . Biarkan kecuali sekarang pada variabel, bukan . Jika memiliki tugas yang memuaskan, maka memiliki tugas yang memuaskan, karena variabel "bebas" dapat mengambil nilai apa pun dalam tugas yang memuaskan. Sekarang misalkan kita memiliki sehingga $\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ - yaitu adalah perkiraan jumlah penugasan yang memuaskan dari dengan kesalahan aditif . Kemudian Karena adalah bilangan bulat, ini berarti kita dapat menentukan nilai tepat dari . Secara algoritmik menentukan nilai pasti mencakup pemecahan masalah # P-complete # 3SAT. Ini berarti bahwa # P-sulit untuk menghitung . $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Thomas
sumber

4

Berikut ini adalah referensi untuk Bordewich, Freedman, Lovász, dan Welsh yang mengembangkan topik ini sampai batas tertentu.

— Martin Schwarz
sumber