Kompleksitas penghitungan endomorfisme grafik

Sebuah homomorfisma dari grafik untuk grafik adalah pemetaan dari ke sehingga jika dan yang berdekatan di maka dan berbatasan dengan . Sebuah endomorfisma dari grafik $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$ $f$ $V$ $V'$ $x$ $y$ $E$ $f(x)$ $f(y)$ $E'$ $G$ adalah homomorfisme dari ke dirinya sendiri; itu adalah fixed-point-free jika tidak ada sedemikian rupa sehingga dan tidak-sepele jika bukan identitas. $G$ $x$ $f(x) = x$

Baru-baru ini saya mengajukan pertanyaan terkait automorfisme poset (dan grafik) , yaitu endomorfisme bijective yang kebalikannya juga merupakan endomorfisme. Saya menemukan pekerjaan terkait tentang menghitung (dan memutuskan keberadaan) automorfisma, tetapi mencari saya tidak dapat menemukan hasil yang terkait dengan endomorfisme.

Maka pertanyaan saya: Apa kompleksitasnya, diberikan grafik , untuk menentukan keberadaan endomorfisme tidak sepele , atau menghitung jumlah endomorfisme? Pertanyaan yang sama dengan endomorfisme bebas-titik-tetap. $G$ $G$

Saya pikir argumen yang diberikan dalam jawaban ini meluas ke endomorfisme dan membenarkan bahwa kasus grafik bipartit diarahkan, atau poset, tidak lebih mudah daripada masalah untuk grafik umum (masalah untuk grafik umum mengurangi kasus ini), tetapi kompleksitasnya tidak tampaknya mudah untuk ditentukan. Diketahui bahwa memutuskan keberadaan homomorfisme dari satu grafik ke grafik lainnya adalah NP-hard (ini jelas karena menggeneralisasikan pewarnaan grafik), tetapi sepertinya membatasi pencarian untuk homomorfisme dari grafik ke dirinya sendiri mungkin membuat masalah lebih mudah, jadi ini tidak membantu saya menentukan kompleksitas masalah ini.

— a3nm
sumber

Menghitung endomorfisme atau endomorfisme bebas-titik-tetap sudah lengkap untuk : diberi grafik terhubung , perhatikan grafik yang merupakan gabungan pisah dan segitiga. Lalu $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$ $G$ $G'$ $G$ $|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$ , jadi dapat dihitung menggunakan dua jumlah endomorfisme (dan dengan hasil umum, bahkan hanya satu yang mencukupi) dan beberapa proses pasca-waktu poli-waktu. Perhatikan bahwa jumlah segitiga dapat dihitung dalam waktu kubik (atau bahkan perkalian matriks). Persamaan yang sama berlaku untuk endomorphisms bebas fixed-point, sejak 3-pewarna dan segitiga yang endomorphisms fixed-point-bebas dari . $\# 3COL$ $G'$

Jika Anda ingin terhubung, Anda dapat melakukan hal berikut. Catatan pertama bahwa penghitungan endomorfisma grafik berwarna titik (di mana simpul-simpul warna hanya dapat dipetakan ke simpul-simpul warna ) sama dengan menghitung grafik endomorfisme, sebagai berikut. Biarkan warna menjadi . Untuk setiap vertex warna , menambahkan dalam menguraikan baru aneh siklus ukuran minimal ( $G'$ $c$ $c$ $\{1,...,C\}$ $v$ $c$ $C_v$ $n + 2c$ ), Dan menghubungkan satu titik dari ke . Setiap endomorfisma berhubungan dengan endomorfisme dari grafik baru (untuk setiap siklus, Anda memiliki dua pilihan cara memetakannya). Perhatikan bahwa tidak ada simpul dari dapat memetakan ke simpul dari setiap , karena siklus terlalu besar (Anda harus bisa muat satu siklus dalam lainnya, yang Anda tidak bisa untuk siklus aneh). $n=|V(G)|$ $C_v$ $v$ $G$ $2^n$ $G$ $C_v$

$G'$ $G$ $\Delta$ $v_0$ $G \cup \Delta$ $v_0$

— Joshua Grochow
sumber

| E n d (G^{'}) |

$|\mathrm{End}(G')|$

(| E n d (G) | + # 3 C O L (G)) (# t r i a n g l e s + 3^{3})

$(|\mathrm{End}(G)| + \#3COL(G))(\#triangles + 3^3)$ , dan sesuatu yang serupa untuk fixed-point-free) tetapi argumennya masih berlaku. Bagian kedua dari argumen Anda menunjukkan kekerasan bahkan dengan mengasumsikan keterhubungan, saya pikir itu benar tetapi saya pikir itu tidak berlaku langsung untuk endomorfisme bebas-titik-tetap (ada titik-titik tetap dalam pemetaan siklus), tetapi itu tidak begitu penting. Saya akan lebih penasaran untuk mengetahui: apakah masalah keputusan NP-hard (untuk non-sepele, dan untuk endomorfisme bebas-titik-tetap)? Terima kasih lagi!

— a3nm

C_{v}

$C_v$

v

$v$

G, H

$G,H$

G \cup H

$G \cup H$

G \to H

$G \to H$

H \to G

$H \to G$

— Joshua Grochow

OK, saya pikir saya membeli argumen Anda untuk penghitungan titik tetap bebas. Untuk keputusan, sebenarnya saya sekarang memperhatikan bahwa "Inti dari sebuah grafik", Hell, p. 8-9, tampaknya membuktikan bahwa memutuskan keberadaan endomorfisme non-sepele adalah NP-lengkap. (Pertanyaan tentang endomorfisme titik tetap bebas tetap ada, tetapi ada sedikit alasan untuk percaya itu tidak akan sulit juga.)

— anmnm