Las Vegas vs Monte Carlo secara acak kompleksitas pohon keputusan


13

Latar Belakang:

Kompleksitas pohon keputusan atau kompleksitas kueri adalah model perhitungan sederhana yang didefinisikan sebagai berikut. Biarkan menjadi fungsi Boolean. Kompleksitas kueri deterministik dari f , dilambangkan D ( f ) , adalah jumlah bit minimum dari input x { 0 , 1 } n yang perlu dibaca (dalam kasus yang lebih buruk) oleh algoritma deterministik yang menghitung f ( x )f:{0,1}n{0,1}fD(f)x{0,1}nf(x). Perhatikan bahwa ukuran kompleksitas adalah jumlah bit dari input yang dibaca; semua perhitungan lainnya gratis.

Demikian pula, kami mendefinisikan kompleksitas kueri acak Las Vegas dari , yang dilambangkan R 0 ( f ) , sebagai jumlah minimum bit input yang perlu dibaca dengan harapan dengan algoritma acak nol-kesalahan yang menghitung f ( x ) . Algoritma zero-error selalu menghasilkan jawaban yang benar, tetapi jumlah bit input yang dibacanya tergantung pada keacakan internal algoritma. (Inilah sebabnya kami mengukur jumlah bit input yang diharapkan.)fR0(f)f(x)

Kami mendefinisikan kompleksitas kueri acak Monte Carlo dari , dilambangkan R 2 ( f ) , menjadi jumlah bit input minimum yang perlu dibaca oleh algoritma acak terbatas-galat yang menghitung f ( x ) . Algoritma dibatasi-kesalahan selalu output jawaban di akhir, tapi hanya perlu benar dengan probabilitas lebih besar dari 2 / 3 (katakanlah).fR2(f)f(x)2/3


Pertanyaan

Apa yang diketahui tentang pertanyaan apakah

?R0(f)=Θ(R2(f))

Diketahui bahwa

R0(f)=Ω(R2(f))

karena algoritma Monte Carlo setidaknya sama kuatnya dengan algoritma Las Vegas.

Baru-baru ini saya mengetahui bahwa tidak ada pemisahan yang diketahui antara kedua kompleksitas. Referensi terbaru yang dapat saya temukan untuk klaim ini adalah dari tahun 1998 [1]:

[1] Nikolai K. Vereshchagin, pohon keputusan Boolean Acak: Beberapa komentar, Ilmu Komputer Teoritis, Volume 207, Edisi 2, 6 November 1998, Halaman 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

Batas atas yang paling dikenal dari satu dalam hal yang lain adalah

R0(f)=O(R2(f)2logR2(f))

karena [2]:

[2] Kulkarni, R., & Tal, A. (2013, November). Pada Sensitivitas Blok Pecahan. Dalam Kolokium Elektronik tentang Kompleksitas Komputasi (ECCC) (Vol. 20, p. 168).

Saya punya dua pertanyaan spesifik.

  1. [Permintaan referensi]: Apakah ada makalah yang lebih baru (setelah 1998) yang membahas masalah ini?
  2. Lebih penting lagi , adakah fungsi kandidat yang diperkirakan untuk memisahkan kedua kompleksitas ini?

Ditambahkan dalam v2: Added ref [2], menekankan pertanyaan kedua tentang keberadaan fungsi kandidat.

Jawaban:


7

Sejauh yang saya tahu, ini masih terbuka. Makalah yang sangat baru yang menyebutkan jumlah ini dan beberapa batasan adalah Aaronson et al: Paritas lemah (lihat http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Anda juga dapat melihat bab 14 Jukna: fungsi Boolean dan survei 1999 (masih berdetak 1998!) Oleh Buhrman dan de Wolf. Makalah yang sangat baru tentang kompleksitas pohon keputusan acak adalah Magniez et al: http://arxiv.org/abs/1309.7565

Akhirnya, ringkasan singkat yang saya buat untuk diri saya sendiri bulan lalu (tanpa def):

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (baru: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: ada f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)))

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (baru: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * deg

C <= bs * deg ^ 2 <= deg ^ 4

Dugaan sensitivitas adalah bahwa s juga berhubungan secara polinomi dengan parameter lain.


Bisakah Anda menunjukkan secara spesifik di mana makalah ini referensi pertanyaan tentang algoritma Las Vegas vs Monte Carlo? Saya mencoba mencarinya di koran-koran ini tetapi tidak menemukannya.
Robin Kothari

Saya minta maaf jika saya ambigu, makalah ini tidak secara eksplisit menyebutkan pertanyaan, hanya perbedaan yang berbeda untuk parameter yang berbeda. Satu-satunya bukti saya atas keterbukaan pertanyaan adalah bahwa jika tidak, maka akan disebutkan.
domotorp

Oh, aku mengerti maksudmu. Saya sudah membaca makalah ini. Saya ingin tahu apakah masalah ini telah dipelajari secara khusus baru-baru ini. Dan saya juga ingin tahu apakah ada fungsi yang diperkirakan memisahkan kedua kompleksitas ini. (Atau jika orang percaya mereka sama.)
Robin Kothari

Saya tahu bahwa dugaan bahwa pemisahan terbesar dari D adalah NAND-tree untuk R0 dan R2.
domotorp

7

Pertanyaan ini telah diselesaikan!

f

R0(f)=Ω~(R2(f)2)

dan bahkan

R0(f)=Ω~(R1(f)2)

R1(f)

Kedua pemisahan optimal hingga faktor log!


Dalam versi baru makalah mereka, ini telah ditingkatkan ke celah hampir kuadratik, yang ketat untuk faktor log.
Shalev
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.