Versi multiplikasi 3-SUM

Apa yang diketahui tentang kompleksitas waktu dari masalah berikut, yang kita sebut 3-MUL?

Diberikan himpunan dari bilangan bulat, apakah ada elemen sedemikian sehingga ?$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

Masalah ini mirip dengan masalah 3-SUM, yang menanyakan apakah ada tiga elemen sehingga (atau ekuivalen ). 3-SUM diperkirakan membutuhkan waktu kuadratatik dalam . Apakah ada dugaan serupa untuk 3-MUL? Secara khusus apakah 3-MUL dikenal sebagai 3-SUM sulit?$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

Catatan, kompleksitas waktu harus diterapkan dalam model perhitungan yang "masuk akal". Misalnya, kita dapat mengurangi dari 3-SUM pada himpunan ke 3-MUL pada himpunan , di mana . Maka solusi untuk 3-MUL, , ada jika dan hanya jika . Namun, ledakan angka yang eksponensial ini sangat buruk dengan berbagai model, seperti model RAM misalnya.$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

Pengurangan Anda dari $3$ SUM menjadi $3$ MUL berfungsi dengan modifikasi standar minor. Misalkan bilangan bulat asli Anda ada di { $1,\ldots,M$ }. Setelah transformasi $x\rightarrow 2^x$ bilangan bulat baru berada di { $2,\ldots,2^M$ }. Kami akan mengurangi jangkauan.

Pertimbangkan triple integer pada set S ′ yang baru . Jumlah pembagi utama dari setiap nol a b - c adalah < 2 M . Jumlah tiga kali lipat tersebut adalah n 3 . Oleh karena itu jumlah bilangan prima q yang membagi setidaknya satu dari a b - c bilangan nol paling banyak 2 M n 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Biarkan menjadi himpunan 2 M ⋅ n 4 bilangan prima pertama. Ukuran prime terbesar adalah paling banyak O ( M n 4 log M n ) . Memilih seorang perdana acak p ∈ P . Dengan probabilitas tinggi p tidak akan membagi sembarang nol a b - c , sehingga kita dapat mewakili masing - masing a ∈ S ′ dengan residu, mod p , dan jika 3 MUL menemukan beberapa a b = c di $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ , Dengan probabilitas tinggi akan benar untukinstance 3 SUMasli. Kami telah mengurangi rentang angka menjadi { 0 , ... , O ( M n 4 log M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Ini adalah pengurangan ukuran standar Anda mungkin bisa berbuat lebih baik dengan mempertimbangkan fakta bahwa. selalu perbedaan dari dua kekuatan dari 2 .)$ab-c$$2$

Sudahkah Anda mencoba reduksi mana ? Hasilnya adalah bilangan real sehingga Anda harus membulatkan ke beberapa angka. Untuk memastikan bahwa angka-angka bertambah dengan benar meskipun ada pembulatan, Anda mungkin perlu menambahkan sedikit noise acak.$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$