Grafik “Tiny” Isomorphism

Sambil berpikir tentang kerumitan pengujian isomorfisme dari grafik asimetris (lihat pertanyaan terkait saya tentang teori), pertanyaan pelengkap muncul di benak saya.

Misalkan kita memiliki waktu polinomial mesin Turing $M$ yang pada input $1^n$ menghasilkan grafik $G_{M,n}$ dengan $n$ node.

Kita dapat mendefinisikan masalah $\Pi_M$ :

("Tiny" GI): Diberikan grafik $G=(V,E)$ , adalah $G$ isomorfik ke $G_{M,|V|}$?

Dengan kata lain kita harus membandingkan grafik diberikan dengan "referensi" grafik dengan ukuran yang sama yang dihasilkan oleh waktu polinomial mesin Turing tetap $M$ .

Untuk semua waktu polinomial Turing mesin $M$ , kita memiliki $\Pi_M \in NP$ , dan bagi banyak dari mereka kita memiliki $\Pi_M \in P$ .
Tetapi apakah itu benar untuk semua $M$ ? Apakah masalahnya diketahui?

Pada pandangan pertama, saya berpikir bahwa setiap $\Pi_M$ harus lebih mudah daripada $GI$ , karena untuk setiap $n$ hanya ada satu "referensi" grafik ukuran itu dan mungkin simetri / asimetri dari grafik yang dihasilkan oleh $M$ dapat dieksploitasi dan tester isomorfisma ad-hoc yang efisien dapat dibangun ... tetapi itu tidak benar: $M$ dapat berisi beberapa jenis mesin Universal Turing berjangka waktu polinomial yang menggunakan input (unary) $1^n$ untuk menghasilkan grafik referensi yang sama sekali berbeda (dalam struktur) seperti $n$ meningkat.

[Ini lebih dari beberapa komentar panjang daripada jawaban.]

1) Jika , maka tidak ada batasan polinom tetap pada kompleksitas waktu semua Π M , bahkan untuk M yang hanya membutuhkan waktu, katakanlah, n 3 : Jika untuk semua waktu- n 3 M , Π M ∈ D T I M E ( n k ) , maka berikut ini adalah algoritma poli-waktu untuk GI. Pada input ( G , H ) , membangun sebuah mesin Turing M G dengan jam yang memastikan bahwa M $GI \notin \mathsf{P}$$\Pi_{M}$$M$$n^3$$n^3$ $M$$\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$$(G, H)$$M_{G}$$M_{G}$tidak pernah berjalan selama lebih dari langkah pada input ukuran n , dan sedemikian rupa sehingga M G ( 1 | V ( G ) | ) = G , dan kemudian menyelesaikan Π M G ( H ) dalam waktu O ( n k ) .$n^3$$n$$M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$$\Pi_{M_G}(H)$$O(n^k)$

2) Karena untuk setiap , Π M tidak lebih sulit daripada GI, orang mungkin berpikir bahwa hasil terbaik di sepanjang baris " Π M tampaknya tidak berada di P " yang bisa diharapkan adalah hasil kelengkapan GI. Namun, tampaknya tidak mungkin bagi saya bahwa siapa pun $M$$\Pi_{M}$$\Pi_M$$\mathsf{P}$ akan menjadi GI-lengkap, untuk setidaknya alasan berikut:$\Pi_M$

• Semua hasil kelengkapan GI yang saya tahu adalah untuk kelas grafik yang agak besar, daripada memiliki grafik tunggal untuk setiap ukuran. Bahkan jika Anda drop persyaratan efisiensi seluruhnya, saya tidak tahu dari setiap daftar grafik sehingga | V ( G n ) | = n (atau bahkan p o l y ( n ) ) sehingga pengujian isomorfisme menjadi G n adalah lengkap-GI.$G_1, G_2, \dotsc$$|V(G_n)| = n$$poly(n)$$G_n$

• Pada catatan terkait, sebagian besar (semua?) Hasil kelengkapan GI tidak hanya banyak-satu reduksi, tetapi memiliki bentuk berikut: ada fungsi sehingga diberi instance ( G , H ) GI, ( f ( G) ) , f ( H ) ) adalah turunan dari masalah GI-complete lainnya. (Ini hanya morfisme poli-waktu dari hubungan ekivalensi, atau apa yang Fortnow dan saya sebut "reduksi kernel.) Kita dapat dengan mudah menunjukkan tanpa syarat bahwa tidak ada pengurangan dari GI ke sembarang Π M (bahkan jika Anda memodifikasi definisi untuk mengizinkan $f$$(G,H)$$(f(G), f(H))$$\Pi_M$$M$ untuk menghasilkan beberapa grafik). Petunjuk: Dapatkan sebuah kontradiksi dengan menunjukkan bahwa apapun ituharus memiliki gambar sepenuhnya terkandung dalam { G M , n } n ≥ 0 .$f$$\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) Meskipun seseorang dapat membuat berdasarkan pada TM universal seperti yang disarankan dalam pertanyaan, mungkin seseorang masih dapat membuat tester yang efisien, hanya saja tidak efisien. Yaitu, mungkin untuk setiap M , Π M ada dalam P / p o l y ?$M$$M$$\Pi_{M}$$\mathsf{P/poly}$

Saya tidak punya jawaban untuk pertanyaan Anda, tetapi mengusulkan untuk mempertimbangkan versi yang lebih terbatas $\Pi_M$ yang yang dapat kami tunjukkan bahwa itu terletak pada P.

Mari kita hanya mempertimbangkan kelompok grafik sedemikian rupa sehingga jumlah tepi tumbuh secara logaritmik. Saya akan memformalkan ini dengan mengulangi rumusan masalah Anda, juga untuk melihat apakah saya sudah memahaminya dengan benar.

Grafik tidak berarah dengan n tepi dapat digambarkan dengan n 2 - $G$$n$ bitstring panjang, cukup menggabungkan entri matriks adjacencyGdi segitiga atas. Karena itu ada2 n 2 - $\frac{n^2-n}{2}$$G$ kemungkinan grafik padansimpul. Oleh karena itu setiap fungsif:N→Nsedemikian sehingga0≤f(n)<2n2-$2^{\frac{n^2-n}{2}}$$n$$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ untuk semuanmenggambarkan sekumpulan grafik. Untuk setiap fungsi yang dapat dihitung secara efisien sepertif,kami mendefinisikanΠfsebagai G∈Π$0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$$n$$f$$\Pi_f$

For a natural number $x$ let $b_1(x)$ be the number of 1's in its binary representation. Now, let us only consider $\Pi_f$ for efficiently computable functions $f$ for which it holds that

We show that $\Pi_f$ for this class of functions is in P.

Let $f$ be such a function and $G$ be an input graph with $n$ vertices. Let us call $f(n)$ the reference graph. There are at most $\mathcal{O}(\log n)$ edges in the reference graph. Thus every MCC(maximally connected component) can consist of at most $\mathcal{O}(\log n)$ vertices of which there can be at most $n$. Note, that for any pair of graphs with only $\mathcal{O}(\log n)$ vertices we can trivially check isomorphism in polynomialy time w.r.t. $n$karena kita dapat mencoba semua permutasi. Dengan demikian menggunakan algoritma serakah untuk menetapkan setiap MCC dari grafik input MCC dalam grafik referensi kita dapat mengetahui apakah kedua grafik tersebut adalah isomorf.