Apakah ada batasan gaya umum Bonferroni yang efisien yang diketahui?

Masalah klasik dalam teori probabilitas adalah untuk menyatakan probabilitas suatu peristiwa dalam hal peristiwa yang lebih spesifik. Dalam kasus yang paling sederhana, orang dapat mengatakan $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . Tulis Mari $AB$ untuk acara $A \cap B$ .

Kemudian ada beberapa cara untuk mengikat $P[\cup A_i]$ , tanpa mengasumsikan independensi dari banyak peristiwa $A_i$ . Bonferroni memberikan batas atas

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$ (ini kadang-kadang juga dikaitkan dengan Boole ), dan Kounias menyempitkan ini ke

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

Struktur ketergantungan dari peristiwa dapat dianggap sebagai hypergraph tertimbang dengan simpul $A_i$ , dengan bobot tepi mewakili probabilitas peristiwa yang terkait dengan persimpangan simpul di tepi.

Argumen gaya inklusi-eksklusi mempertimbangkan himpunan bagian acara yang lebih besar dan lebih besar. Ini menghasilkan batas Bonferroni . Batas ini menggunakan semua bobot untuk tepi hingga beberapa ukuran $k$ .

Jika struktur ketergantungan "cukup baik", maka Lemma Lokal Lovász dapat digunakan untuk mengikat probabilitas dari nilai ekstrim 0 dan 1. Berbeda dengan pendekatan Bonferroni, LLL menggunakan informasi yang cukup kasar tentang struktur ketergantungan.

Sekarang anggaplah relatif sedikit bobot dalam struktur ketergantungan tidak nol. Lebih jauh, anggaplah bahwa ada banyak peristiwa yang berpasangan independen tetapi tidak independen (dan lebih umum, sangat mungkin bahwa serangkaian peristiwa $k$ tidak saling independen tetapi $r$ bijaksana independen untuk setiap $r < k$ ).

Apakah mungkin untuk secara eksplisit menggunakan struktur ketergantungan peristiwa untuk meningkatkan batas Bonferroni / Kounias, dengan cara yang dapat dihitung secara efisien?

Saya berharap jawabannya adalah ya, dan akan sangat menghargai petunjuk untuk referensi. Saya mengetahui makalah Hunter dari tahun 1976, tetapi hanya berurusan dengan dependensi berpasangan. Hunter mempertimbangkan spanning tree dalam grafik yang dibentuk dengan mengabaikan tepian dalam struktur ketergantungan ukuran 3 atau lebih besar.

David Hunter, Sebuah Batas Atas untuk Probabilitas Persatuan , Journal of Applied Probability 13 597-603. http://www.jstor.org/stable/3212481

reference-request pr.probability

— András Salamon
sumber

Saya pikir Anda akan menemukan jawabannya di kertas "Perkiraan Inklusi-Pengecualian" oleh Linial dan Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_exl.pdf

— Aryeh
sumber

Ini memang terlihat sangat relevan (tautan resmi adalah link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); ada juga tautan tindak lanjut.springer.com/article/10.1007/BF01271266 oleh Jeff Kahn, Nathan Linial, dan Alex Samorodnitsky.

— András Salamon