Batas bawah yang ketat pada teorema Savitch

Pertama-tama, saya minta maaf sebelumnya atas kebodohan. Saya sama sekali bukan ahli teori kompleksitas (jauh dari itu! Saya seorang sarjana mengambil kelas pertama saya dalam teori kompleksitas) Inilah pertanyaan saya. Sekarang Teorema Savitch menyatakan bahwa Sekarang saya ingin tahu apakah jika batas bawah ini ketat, yaitu itu adalah sesuatu di sepanjang baris tidak dapat dicapai.

Sepertinya ada sesuatu yang harus ada argumen kombinatorial langsung untuk dibuat di sini - setiap node dalam grafik konfigurasi untuk mesin Deterministic Turing hanya memiliki satu tepi keluar, sementara setiap node dalam grafik konfigurasi mesin Turing Non-Deterministic dapat memiliki lebih banyak dari satu tepi keluar. Algoritme yang dilakukan oleh Savitch adalah mengonversi grafik konfigurasi dengan angka berapa pun yang keluar menjadi grafik konfigurasi dengan tepi yang keluar.$<2$

Karena grafik konfigurasi mendefinisikan TM unik (tidak yakin tentang ini), ukuran kombinatorial yang terakhir hampir pasti lebih besar daripada yang sebelumnya. "Perbedaan" ini mungkin merupakan faktor , mungkin kurang - saya tidak tahu. Tentu saja, ada banyak masalah teknis kecil yang harus diselesaikan, seperti bagaimana Anda perlu memastikan tidak ada loop dan sebagainya, tetapi pertanyaan saya adalah apakah ini adalah cara yang masuk akal untuk mulai membuktikan hal seperti ini. $n^2$

Ini adalah pertanyaan terbuka yang terkenal. Anda akan melihat dalam teori kompleksitas banyak pertanyaan terbuka yang Anda akan bertanya-tanya mengapa tidak ada yang berhasil menyelesaikannya. Sebagian alasannya adalah bahwa kami membutuhkan orang baru seperti Anda untuk membantu kami menyelesaikannya :)

Untuk hasil terbaru di bidang ini, menunjukkan bahwa algoritma Savitch optimal dalam beberapa model terbatas, lihat makalah FOCS Aaron Potechin .

Secara khusus, ia mulai dari pengamatan yang bagus bahwa karena grafik konfigurasi TM deterministik hanya memiliki satu sisi keluar (setelah memperbaiki input), orang dapat menganggapnya sebagai grafik tidak terarah, dan pertanyaannya menjadi seperti berikut: diberikan grafik diarahkan dari n simpul dengan dua simpul khusus s , t , jika kita memetakannya ke simpul N simpul tidak berarah G ′ (juga dengan simpul khusus s ′ , t ′ ) sedemikian rupa sehingga keberadaan setiap tepi dalam G ′ bergantung pada satu tepi di G dan ada jalan dari $G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$untuk dalam jika ada jalur antara dan dalam , seberapa besar harus dari .$t$$G$$s'$$t'$$G'$$N$$n$

Untuk menunjukkan bahwa algoritma Savitch optimal, kita harus menunjukkan bahwa harus minimal 2 Ω ( log 2 n ) = n Ω ( log n ) . Untuk menunjukkan , itu sudah cukup untuk menunjukkan lemah terikat yang untuk setiap konstan . Saya cukup yakin bahwa bahkan tidak dikenal, meskipun mungkin sesuatu seperti dikenal karena beberapa alasan yang tidak begitu menarik.$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$N > n c c N > n 10 N ≥ n $L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Saya pikir kita tidak tahu apakah ini ketat. Kalau tidak kita akan tahu bahwa .$L \neq NL$