Kekerasan melompat dalam kompleksitas komputasi?

Masalah bandwidth minimum adalah menemukan urutan node grafik pada garis integer yang meminimalkan jarak terbesar antara dua node yang berdekatan. Sebuah -caterpillar adalah pohon dibentuk dari jalan utama dengan pertumbuhan jalan tepi-menguraikan panjang paling k dari node-nya ( k disebut panjang rambut). Masalah Bandwidth Minimum adalah di P untuk 2-ulat tetapi itu adalah N P- lengkap untuk 3-ulat.$k$$k$$k$$P$$NP$

Berikut ini adalah fakta yang sangat menarik, Masalah bandwidth minimum dapat dipecahkan dalam waktu polinomial untuk 1-ulat (paling panjang satu rambut) tetapi -lengkap untuk siklik 1-ulat (dalam ulat siklik, satu sisi ditambahkan untuk menghubungkan titik akhir dari jalur utama). Jadi, penambahan tepat satu sisi membuat masalah N P -complete.$NP$$NP$

Apa contoh yang paling mencolok dari masalah kekerasan melompat di mana variasi kecil masukan misalnya menyebabkan kompleksitas melompat dari polinomial-waktu solvabilitas untuk -completeness?$NP$

Salah satu contoh lompatan kekerasan yang lebih menarik dapat diamati dalam masalah berikut:

Pertimbangkan kejuaraan liga sepak bola dengan tim: Masalah menentukan apakah tim tertentu dapat (masih) memenangkan liga ada di P jika dalam pertandingan, tim yang menang diberikan 2 poin, kalah 0 dan setiap tim dianugerahi 1 titik dalam pertandingan imbang. Tetapi jika kita mengubah aturan sehingga tim yang menang mendapatkan 3 poin, masalah yang sama menjadi N P -hard.$n$$P$$NP$

Hasilnya dapat digeneralisasi untuk aturan titik untuk setiap k > 2 dan bahkan hanya untuk tiga putaran yang tersisa.$(0, 1, k)$$k > 2$

Sumber: "Teori Kompleksitas" oleh Ingo Wegener ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

Ini menjawab pertanyaan yang diajukan dalam judul pertanyaan, tetapi bukan pertanyaan yang diajukan.

$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

Ini pertama kali ditemukan oleh Valiant, dalam makalah Holographic Algorithms.

SET INDEPENDEN adalah NP-lengkap untuk grafik bebas (silang, segitiga) , tetapi dapat diselesaikan secara linear untuk grafik bebas (kursi, segitiga) . (Grafik bebas-X adalah grafik yang tidak mengandung grafik dari X sebagai subgraf yang diinduksi.)

kursi: segitiga: salib:

Perhatikan bahwa salib diperoleh dari kursi dengan menambahkan satu tepi.

Saya tidak yakin saya akan mengikuti karakterisasi Anda bahwa menambahkan satu edge pada input membuat masalah NP-complete, karena satu sebenarnya memungkinkan edge untuk ditambahkan ke setiap satu dari input instance yang tak terhingga banyaknya.

Berikut adalah contoh masalah yang menunjukkan dikotomi tajam di sepanjang garis yang Anda sarankan.

Masalah menentukan apakah ada homomorfisme grafik dari grafik input G ke grafik templat tetap H ada di P ketika H adalah grafik dengan loop-diri atau grafik loopless bipartit. Ketika H bukan bipartit (ini sering dapat dicapai dengan menambahkan satu sisi) maka masalahnya menjadi NP-lengkap.

• P. Hell dan J. Nešetřil, Kompleksitas pewarnaan-H , J. Comb. Th. B 48 92–110, 1990. doi: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

$P_3$$K_3$

Berikut ini contoh menarik lainnya, yang diangkat dalam deteksi subgraph yang diinduksi:

$x,y$$P_1, P_2, P_3$$x$$y$

$x$$y_1,y_2,y_3$$P_i$$x$$y_i$$i=1,2,3$

$x_1,x_2,x_3$$y_1,y_2,y_3$$P_i$$x_i$$y_i$$i=1,2,3$

Mudah dijelaskan dalam gambar:

$O(n^{11})$$O(n^9)$

Orang dapat melihat " Mendeteksi subgraph yang diinduksi " oleh Leveque, Lin, Maffray dan Trotignon untuk referensi. Alasan mengapa theta dan piramida relatif mudah terkait dengan masalah "three-in-a-tree", dijelaskan dalam " Masalah three-in-a-tree " oleh Chudnovsky dan Seymour.

$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

Saya pikir tidak masuk akal berbicara tentang contoh. Kita dapat berbicara tentang dua distribusi instance input dengan kesulitan yang berbeda, tetapi akan lebih menarik jika ada hubungan antara distribusi, atau antara instance dalam distribusi.

Kami dapat mempertimbangkan keluarga distribusi yang diparameterisasi, dan kemudian berbicara tentang apa yang terjadi ketika kami mengubah parameter. Anda mungkin tertarik pada apa yang disebut fenomena ambang , "di mana sistem mengalami perubahan kualitatif cepat sebagai akibat dari perubahan kecil dalam parameter ...". Lihatlah survei ini: Ehud Friedgut , " Berburu untuk Ambang Batas ", Algoritma Struktur Acak 26, 2005.

$\Delta$

Tipe inferring untuk istilah lambda adalah DEXPTIME-lengkap dengan sistem tipe polimorfik prenex dan peringkat-2 (ketika quantifiers tipe bersarang di kedalaman paling satu tingkat), tetapi menjadi tidak dapat dipastikan untuk peringkat-3 dan lebih tinggi. Aneh bahwa satu tingkat penumpukan ekstra dapat membuat masalah tidak dapat dipastikan.

Menemukan keadaan dasar model Isar planar dengan 0 medan magnet dalam P, dengan medan magnet non-nol adalah NP-hard. Fungsi partisi model planar Ising dengan 0 medan magnet adalah dalam P, dengan medan magnet non-nol adalah NP-hard.

Ini adalah masalah yang bagus dengan lompatan kompleksitas yang menarik seperti Bandwidth Minimum yang Anda bahas dalam pertanyaan Anda.

$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

Lompatan kompleksitas berikut ini ditunjukkan dalam: Bodlaender et al., Kompleksitas Parameter dari Masalah Kemacetan Pohon Rentang, Algorithmica 64 (2012) 85-111 :

$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

Saya heran mengapa tidak ada yang menyebutkan ini:

Horn-Sat vs K-Sat

Saya kira semua orang tahu apa itu. Jika tidak:

Horn-Sat adalah untuk menemukan apakah satu set klausa klausa memenuhi syarat (setiap klausa memiliki paling banyak 1 literal positif).

K-Sat adalah untuk menemukan jika satu set klausa memenuhi syarat (setiap klausa dapat memiliki lebih dari 1 literal positif).

Jadi memungkinkan lebih dari satu literal positif di setiap klausa membuat masalah dari P-complete NP-complete.

Pewarnaan Grafik

Seperti yang disebutkan dalam jawaban lain, 2-COL dapat dipecahkan dalam waktu polinomial sementara 3-COL adalah NP-complete. Tetapi ketika meningkatkan jumlah warna, setelah beberapa titik (tidak diketahui?) Masalah menjadi lebih mudah!

Sebagai contoh, jika kita memiliki simpul N dan warna N, masalahnya dapat diselesaikan dengan menetapkan warna yang berbeda untuk setiap simpul.

Dalam nada yang sama: Permanen vs Penentu.

Saya baru saja membaca sebuah makalah yang berkaitan dengan partisi hypergraph . Masalahnya didefinisikan sebagai ini, kutipan:

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

Secara umum, terbukti bahwa:

• $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• $P^l_k$$2 \leq l < k$

Jika ini tidak cukup "melompat", baca terus. Untuk hypergraph dengan hyperedges yang terpisah, ditunjukkan:

• $P^1_k$$k \geq 2$
• $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 2010. Varian NP-hard dan linear dari partisi hypergraph. Teor Komputasi. Sci. 411, 1 (Januari 2010), 10-21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

Kompleksitas lompatan yang menarik dikenal untuk masalah penjadwalan job shop.

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

Jadi, di sini kita bisa melihat bahwa ada lompatan ketika kita beralih dari dua pekerjaan / mesin ke tiga.

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$