Kebingungan tentang reduksi penghitungan penutup simpul hingga penghitungan penutup siklus

Ini membingungkan saya.

Salah satu kasus penghitungan yang mudah adalah ketika masalah keputusan ada di dan tidak ada solusi. $P$

Kuliah menunjukkan bahwa masalah penghitungan jumlah kecocokan sempurna dalam grafik bipartit (ekuivalen, menghitung jumlah penutup siklus dalam grafik terarah) adalah . $\#P$

Mereka memberikan pengurangan dari menghitung simpul penutup ukuran ke menghitung siklus penutup dalam digraf menggunakan gadget. $k$

Teorema 27.1 Jumlah tutup siklus yang baik dalam adalah kali jumlah penutup simpul dari ukuran . $H$ $(k!)^2$ $G$ $k$

Menggunakan gadget, mereka hanya menyisakan siklus "baik".

Pemahaman saya tentang kuliah adalah bahwa tidak memiliki penutup simpul ukuran jika ifgraf transformasi tidak memiliki penutup siklus. Memeriksa apakah memiliki penutup siklus dapat dilakukan dalam waktu polinomial, menyiratkan karena kita dapat mengubah masalah keputusan untuk menemukan solusi. $G$ $k$ $G'$ $G'$ $P=NP$

Apa yang saya salah pahami?

Permanen dari matriks adjacency dari siklus jumlah digraph meliputi dan . $\#P$

Masalah keputusan "Apakah permanen matriks (0,1) nol" adalah di P sejak menemukan penutup siklus di . $P$

$P \ne NP$ menyiratkan tidak ada pengurangan penghitungan -lengkap masalah untuk menghitung -permanen yang memetakan $NP$ $(0,1)$ $0 \mapsto 0$ .

Edit pertanyaan MO Terkait

Ditambahkan

Markus Bläser menunjukkan bahwa siklus buruk masih "ada", tetapi jumlah bobotnya hilang.

Tampak bagi saya berat siklus buruk dalam widget adalah nol.

Dari halaman 148 (11 pdf):

Matriks adjacency penuh B dengan submatrices A yang sesuai dengan widget empat simpul ini menghitung 1 untuk setiap penutup siklus yang baik di H dan 0 untuk setiap penutup siklus yang buruk

Pertanyaan lain:

$k$

Dalam CC, setiap simpul harus tepat satu siklus.

cc.complexity-theory graph-theory

— joro
sumber

Mereka tidak hanya meninggalkan siklus yang baik. Dalam argumen penghitungan mereka, mereka menghilangkan penghitungan siklus buruk. Masalahnya adalah Anda harus menghitung sampul siklus #good. Jadi jika Anda menemukan penutup siklus yang bukan penutup siklus yang baik maka Anda tidak bisa mendapatkan penutup k-vertex. Tetapi jika Anda menemukan penutup siklus yang baik ya, grafik memiliki k-VC. Ini tidak melanggar apa pun.

— Saeed

k

$k$

@ Saeed Bukankah mereka menghitung semua penutup siklus dalam G 'yang diubah?

— joro

Pengurangan memberikan bobot ke tepi. Siklus buruk dapat memiliki bobot positif atau negatif, kontribusi keseluruhannya nol. Tetapi siklus ini masih "ada" dan mungkin ditemukan oleh algoritma deteksi penutup siklus dan dalam hal ini Anda tidak tahu apakah ada penutup siklus yang baik atau tidak.

— Markus Bläser

@ MarkusBläser Terima kasih, ini masuk akal :). Mengapa tidak menjawab?

— joro

Sepertinya kesalahpahamannya adalah ini:

Dalam reduksi akhir menjadi (0,1) -permanen mereka menggunakan aritmatika modular, yang mematahkan argumen saya.

$A$ $B$

$n$ $perm(A)=0$ $perm(B)=mn$

$n$ $B$

Belum menemukan kekurangan dalam pertanyaan tentang penutup siklus tertimbang maksimum, yang tampaknya tidak terpengaruh oleh hal di atas.

— joro
sumber