Apa nilai dari "game" ini (counter rebalancing)?


8

Pertanyaan ini diposting di CS.SE dua minggu lalu , tetapi tidak mendapatkan jawaban yang memuaskan.

Misalkan Anda memiliki permainan berikut:

Ada banyak sekali penghitung {c1,c2,} , semuanya diinisialisasi ke 0.

Di setiap langkah, Anda memilih penghitung ci dan meningkatkan nilainya 1.

Sayangnya, setiap langkah T , setiap penghitung yang memiliki nilai positif dikurangi sebesar 1.

Selain itu, nilai penghitung dibatasi oleh , jadi Anda tidak bisa menambah penghitung lebih jauh.M

1. Diberikan langkah sebanyak yang Anda suka, dapatkah banyak penghitung bernilai positif dapat Anda jangkau?

2. Berapa banyak penghitung bernilai positif yang dapat dijangkau setelah langkah ?TM1


Untuk pertanyaan (1), inilah aa penumpukan rinci untuk counter positif:Tlog(M)

  1. Meskipun Anda memiliki penghitung kurang dari dengan nilai M : T1M
    • Kenaikan indeks kontra minimal yang nilainya ketat kurang dari .M

(Ini harus menyatu karena jumlah penghitung terikat untuk meningkatkan setiap langkah )T

  1. Biarkan .r=T

  2. Sementara ( )c0>1

    Sebuah. sementara ( )c0>cr

    • Kenaikan cr

    b. r=r+1

Sekarang untuk analisis: pengamatan pertama adalah bahwa jumlah penghitung positif adalah .r

Sekarang mari menjadi nilai maksimal c r yang telah dicapai. Untuk r = T kita mendapatkan M ( 1 - 1mrcrr=T. Untukr=T+1kita mendapatkanmr(1-1M(11T)r=T+1, atau secara umumrT:mr=M(1-1mr(11T)=M(11T)2

rT:mr=M(11T)rT+1

Selanjutnya kita perhatikan bahwa ketika tercapai, c 0 = m r . Ini berarti loop akan berhenti ketika m r < 1 (memberi atau menerima integralitas dan strategi akhir permainan).mrc0=mrmr<1

Ini memberi kita (1-1

M(11T)rT+1<1
(r-T+1)log(1-1
(11T)rT+1<M1
r-T+1<-logM
(rT+1)log(11T)<logM
r<-logM
rT+1<logMlog(11T)
r<logM
r<logMlog(11T)+T1
r<logMk11kTk+T1<T(logM+1)1

Apakah mungkin melakukan lebih baik? Adakah yang bisa membuktikan ini optimal?

Jawaban:


5

Batas bawah untuk pertanyaan 2:

TM1(T1)logM

1TM1TM1Tk1k<M

MN/TN11TM1

Strategi: Pada setiap langkah waktu, tambahkan penghitung paling kiri yang nilainya kurang dari batas atas.

V/ULUL

T(T1)/ULUL

1/ULUL/UL=11/UL1ULT1(T1)/ULT1(T1)/UL

TT1(T1)/ULTM1k=1m(T1)/k(T1)logMTM11(T1)logM


5

Berikut ini adalah batas atas untuk pertanyaan 2.

TMTlogM

0(TM+1)

0

1T12T13TkT+1(k1)T1k

1

Ti=1M1iTlogM1

kT(k1)Tk1k1k

1kkT+1(k1)T1M2MTMT002MT12MT1MTlogM+TT(logM+1)


xxNN=TMΩ(TlogM)
BPR

Atau mungkin saya bisa memberikan ikatan yang lebih baik. Terima kasih lagi.
RB
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.