Mengocok token pada grafik menggunakan swap lokal

Misalkan menjadi grafik terhubung yang tidak teratur yang derajatnya dibatasi. Misalkan setiap node berisi token unik. $G= (V, E)$

Saya ingin secara acak mengocok token di antara grafik hanya menggunakan swap lokal (yaitu pertukaran token antara dua node yang berdekatan)? Apakah ada batas bawah yang diketahui untuk masalah ini?

Satu-satunya ide yang saya miliki adalah menggunakan hasil jalan acak, kemudian untuk melihat berapa banyak swap yang saya perlukan untuk "mensimulasikan" efek jalan acak yang mengangkut token pada grafik.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
sumber

Apa jenis batas bawah yang Anda cari? Total jumlah swap? Jumlah putaran paralel (yaitu, dalam 1 langkah Anda dapat bertukar di sepanjang semua tepi yang cocok dengan

)? Batas bawah sebagai fungsi

? Apakah semua node mengetahui topologi

(dan dapat menyesuaikan perilakunya sesuai), atau apakah Anda mencari strategi tetap yang dapat Anda terapkan dalam grafik apa pun?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

Saya seharusnya lebih spesifik, maaf. Tujuannya adalah untuk merancang metode penyebaran data untuk jaringan sensor yang menghindari masalah metode berjalan berdasarkan acak (pada dasarnya kehilangan informasi karena beberapa token bertabrakan pada node yang sama). Jadi saya tertarik pada jumlah total swap (ini akan memberikan jumlah pesan yang beredar di jaringan) dan jumlah putaran (untuk memiliki perkiraan kasar waktu konvergensi). LB sebagai fungsi

baik-baik saja dan node tidak menyadari topologi (sayangnya).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

Jawaban:

Misalkan grafik Anda adalah sebuah jalur. Saya pikir kemudian masalah ini menjadi setara dengan menyortir urutan angka acak dalam array dengan menukar entri yang berdekatan. Bahkan dari semua node sadar topologi, Anda mendapatkan ^ 2 batas bawah pada jumlah swap (tidak bisa melakukan lebih baik daripada bubble sort yang n ^ 2 bahkan pada input acak).

— Lev Reyzin
sumber

Dalam kasus jalan, proses swapping dengan probabilitas 1/2 campuran di

, ini telah dibuktikan oleh Benjamini, Berger dan Hoffman (ini dikira oleh Diaconis dan Ram). Jadi LB saya juga merupakan fungsi dari tingkat saya kira ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet

LB ini mengatakan Anda tidak dapat meningkatkan algoritme bahkan jika Anda dapat memilih swap Anda .... tetapi benar, saya kira masalahnya mungkin menjadi lebih mudah ketika tingkat (rata-rata?) Naik.

— Lev Reyzin

Saya akan menjadwalkan beberapa simulasi untuk melihat bagaimana keadaannya ketika derajatnya tumbuh.

— Sylvain Peyronnet

Sebenarnya sepertinya LB ini (dengan beberapa modifikasi) akan berlaku bahkan jika kedua ujung jalur memiliki klik besar - seperti pada 2 klik pada n / 4 yang terhubung oleh jalur n / 2 node. Sekarang derajat rata-rata adalah O (n), namun Anda masih belum bisa mengalahkan n ^ 2. Mungkin kita perlu memaksakan gelar minimum?

— Lev Reyzin

Ya, kami membutuhkan gelar minimum :(

— Sylvain Peyronnet

Saya ingin menunjukkan hubungan antara masalah ini dan menyortir jaringan. Misalnya, jika grafik Anda adalah jalur, maka jaringan pengurutan trivial linear juga menunjukkan bahwa Anda dapat memperoleh permutasi dalam jumlah putaran linear. Selain itu, ini ketat, karena hanya menukar elemen di titik akhir jalan membutuhkan jumlah linier putaran.

Jaringan penyortiran AKS menunjukkan bahwa ada grafik di mana Anda dapat memperoleh permutasi dalam jumlah putaran logaritmik. Untuk kasus grafik kotak, lihat misalnya catatan kuliah ini .

(Tentu saja pengurutan dan pengacakan adalah masalah yang berbeda, tetapi banyak batas atas dan bawah terkait. Misalnya, pilih label acak dan urutkan berdasarkan label.)

— Jukka Suomela
sumber

Terima kasih untuk penunjuknya. Saya akan menggali ke arah ini, mungkin itu bukan yang saya butuhkan di sini (saya tidak yakin apakah saya memiliki jenis grafik yang baik) tetapi pasti akan menjadi sesuatu yang saya akan gunakan cepat atau lambat!

— Sylvain Peyronnet