Berapa kedalaman yang diharapkan dari pohon yang dihasilkan secara acak?

19

Saya sudah memikirkan masalah ini sejak lama, tetapi tidak tahu.

Algoritma pembangkitnya adalah sebagai berikut. Kami berasumsi ada $n$ diskrit bernomor dari $0$ hingga $n - 1$ . Kemudian untuk setiap $i$ di $\{1, \dotsc, n - 1\}$ , kita menjadikan orang tua simpul ke- $i$ di pohon menjadi simpul acak di $\{0, \dotsc, i - 1\}$ . Iterasi melalui masing-masing $i$ agar hasilnya adalah pohon acak dengan simpul akar $0$ . (Mungkin ini tidak cukup acak tetapi ini tidak masalah.)

Berapa kedalaman yang diharapkan dari pohon ini?

pr.probability

— zhxchen17
sumber

Saya berasumsi

v_{0}

$v_0$ adalah root dan Anda bermaksud mengatakan: "Lalu untuk setiap

i

$i$ di

[1, n)

$[1,n)$ , kami membuat induk simpul ke-

i

$i$ ...". Baik?

— Tanpa judul

Apa yang sudah kamu coba? Sudahkah Anda mencoba menulis relasi perulangan, katakan untuk

d (i)

$d(i)$ yang merupakan kedalaman yang diharapkan dari simpul

i

$i$ ?

— DW

3

Objek-objek ini dikenal dengan nama "pohon rekursif acak".

— James Martin

15

Saya pikir ada hasil konsentrasi tentang $e \log n$ , tetapi saya belum mengisi detailnya.

Kita bisa mendapatkan batas atas untuk probabilitas bahwa simpul memiliki leluhur tidak termasuk . Untuk setiap kemungkinan rantai lengkap nenek moyang nol , probabilitas rantai yang $n$ $d$ $0$ $d$ $(a_1,a_2,...,a_d)$ . Ini sesuai dengan $(\frac{1}{a_1})(\frac{1}{a_2})\cdots (\frac{1}{a_d}) \times \frac{1}{n}$ kali jangka waktu $\frac{1}{n}$ tempat ketentuan dipesan. Jadi, batas atas untuk probabilitas ini adalah $(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \cdots \frac{1}{n-1})^d$ di manaadalahst harmonik nomor $\frac{1}{n (d!)} H_{n-1}^d$ $H_{n-1}$ $n-1$ . . Untuk fixdan, probabilitas simpulpada kedalamanadalah paling banyak $1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n-1}$ $H_{n-1} \approx \log (n-1) + \gamma$ $d$ $n \to \infty$ $n$ $d+1$

\frac{(\log n)^{d}}{n (d!)} (1 + o (1))

$\frac{(\log n)^d}{n (d!)} \left(1+o(1)\right)$

Dengan perkiraan Stirling, kita dapat memperkirakan ini sebagai

\frac{1}{n \sqrt{2 π d}} {(\frac{e \log n}{d})}^{d} .

$\frac{1}{n\sqrt{2\pi d}} \left( \frac{e \log n}{d} \right)^d.$

Untuk besar , apa pun yang jauh lebih besar dari , basis eksponensial kecil, jadi ikatan ini kecil, dan kita dapat menggunakan ikatan terikat untuk mengatakan bahwa probabilitas bahwa setidaknya ada satu simpul dengan leluhur bukan nol adalah kecil. $d$ $e \log n$ $d$

Lihat

Luc Devroye, Omar Fawzi, Nicolas Fraiman. "Kedalaman sifat lampiran pohon rekursif acak skala."

B. Pittel. Perhatikan ketinggian pohon rekursif acak dan pohon pencarian m-ary acak. Struktur dan Algoritma Acak, 5: 337–348, 1994.

Mantan klaim yang terakhir menunjukkan kedalaman maksimum adalah dengan probabilitas tinggi, dan menawarkan bukti lain. $(e+o(1))\log n$

— Douglas Zare
sumber

2

Sangat bagus. Untuk memperjelas bagi pembaca lainnya: karena Anda tidak bisa mengulangi

, istilah

a_{i}

$a_i$

hanyalah batas atas.

(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n - 1})^{d}

$(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n-1})^d$

— Peter Shor

3

Pertanyaan ini dijawab beberapa tahun yang lalu, tetapi, hanya untuk bersenang-senang, ini adalah bukti sederhana dari batas atas. Kami memberi batasan pada harapan, lalu ekor terikat.

Tentukan rv menjadi kedalaman simpul . Mendefinisikan $d_i$ $i\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ $\phi_i = \sum_{j=0}^i e^{d_j}.$

lemma 1. Kedalaman maksimum yang diharapkan, paling banyak $E[\max_i d_i]$ . $e\, H_{n-1}$

Bukti. Kedalaman maksimum paling banyak pada . Untuk menyelesaikannya kami menunjukkan $\ln \phi_{n-1}$ . $E[\ln \phi_{n-1}] \le e\, H_{n-1}$

Untuk setiap , pengkondisian pada , dengan memeriksa , $i\ge 1$ $\phi_{i-1}$ $\phi_i$

E [ϕ_{i} | ϕ_{i - 1}] = ϕ_{i - 1} + E [e^{d_{i}}] = ϕ_{i - 1} + \frac{e}{i} ϕ_{i - 1} = (1 + \frac{e}{i}) ϕ_{i - 1} .

$\textstyle E[\phi_i\, |\, \phi_{i-1}] \,=\,\phi_{i-1} + E[e^{d_i}] \,=\, \phi_{i-1} + \frac{e}{i} \phi_{i-1} \,=\, (1+\frac{e}{i}) \phi_{i-1}.$

Dengan induksi maka

E [ϕ_{n - 1}] = \prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + \frac{e}{i}) < \prod_{i = 1}^{n - 1} \exp (\frac{e}{i}) = \exp (e H_{n - 1}) .

$\textstyle E[\phi_{n-1}] \,=\, \prod_{i=1}^{n-1} (1+\frac{e}{i}) \,<\, \prod_{i=1}^{n-1} \exp(\frac{e}{i}) \,=\, \exp(e\, H_{n-1}).$

Jadi, dengan konkavitas logaritma,

E [\ln ϕ_{n - 1}] \leq \ln E [ϕ_{n - 1}] < \ln \exp (e H_{n - 1}) = e H_{n - 1} . ◻

$E[\ln \phi_{n-1}] \,\le\, \ln E[\phi_{n-1}] \,<\, \ln \exp(e\, H_{n-1}) \,=\, e\, H_{n-1}.~~~~~~~\Box$

Inilah ekor yang diikat:

lemma 2. Perbaiki . Kemudian $c \ge 0$ $\Pr[\max_i d_i] \ge e\,H_{n-1} + c$ $\exp(-c)$

$\phi$

Pr [ϕ_{n - 1} \geq \exp (e H_{n - 1} + c)] \leq \frac{E [ϕ_{n - 1}]}{\exp (e H_{n - 1} + c)} .

$\Pr[\phi_{n-1} \ge \exp(e\,H_{n-1} + c)] \,\le\,\frac{E[\phi_{n-1}]}{\exp(e\,H_{n-1} + c)}.$

E [ϕ_{n - 1}] \leq \exp (e H_{n - 1})

$E[\phi_{n-1}]\le \exp(e\,H_{n-1})$

◻

$~~~\Box$

~~$(e-1)H_n - O(1)$ $\max_i d_i \ge \ln\phi_t - \ln n$~~ [EDIT: bicara terlalu cepat]

$(1-o(1))e H_n$

— Neal Young
sumber

2

Saya sebenarnya telah memikirkan pertanyaan yang sama (walaupun dalam formulasi yang sama sekali berbeda) beberapa bulan yang lalu, serta beberapa varian yang dekat.

Saya tidak punya solusi bentuk tertutup (/ asimptotik) untuk itu, tetapi Anda mungkin menganggap ini berguna (apakah Anda hanya mencari batas atas?).

$v_0$

Ini juga memberi kami formula rekursi untuk pertanyaan Anda.

$h(n)$ $n$

$P_n(B)=\frac{\Pi_{b\in B} (b-1)!}{n!}$ $B$

$h(n)$

h (n) = \sum_{B \in B_{n}} P_{n} (B) \cdot max_{b \in B} h (b)

$h(n)=\sum_{B\in \mathcal B_n}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)$

Jika Anda ingin membuat kode rekursi ini, pastikan Anda menggunakan yang berikut ini agar tidak masuk ke loop tak terbatas:

h (n) = \frac{\sum_{B \in B_{n} ∖ {{n}}} P_{n} (B) \cdot max_{b \in B} h (b)}{1 - \frac{1}{n!}}

$h(n)=\frac{\sum_{B\in \mathcal B_n\setminus \{\{n\}\}}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)}{1-\frac{1}{n!}}$

$\mathcal B_n$ $n$ $h(1)=1$

$h(n)$ $h$

— BPR
sumber

1

Terima kasih atas idenya! Sebenarnya saya menulis program monte-carlo pertama kali ketika saya bertemu dengan masalah ini, tetapi yang mengejutkan saya hasil yang akurat sangat sulit didapat.

— zhxchen17