Biarkan saya melihat apakah saya dapat mengklarifikasi ini, pada tingkat tinggi. Asumsikan turunan UG adalah grafik bipartit , bijections { π e } e ∈ E , di mana π e : Σ → Σ , dan | Σ | = m . Anda ingin membuat grafik H baru sehingga jika instance UG adalah 1 - δ memuaskan, maka H memiliki potongan besar, dan jika instance UG bahkan tidak δ -sangat memuaskan, makaG = ( V∪ W, E){ πe}e ∈ Eπe: Σ → Σ| Σ | =mH1−δHδ hanya memiliki potongan yang sangat kecil.H
Grafik berisi, untuk setiap simpul di W , awan 2 m poin, masing-masing dilabeli oleh beberapa x ∈ { - 1 , 1 } Σ . Tujuannya adalah bahwa Anda harus dapat menafsirkan kode panjang pengkodean dari label W sebagai potongan H . Ingat bahwa untuk mengkodekan beberapa σ ∈ Σ dengan kode panjang, Anda menggunakan fungsi boolean f : { - 1 ,HW2mx∈{−1,1}ΣWHσ∈Σf:{−1,1}Σ→ { - 1 , 1 }; khususnya itu adalah fungsi diktator yang f ( x ) = 1 . Semua yang lain pergi ke T . Mari kita menghasilkan potongan S ∪ T (yaitu bi-partisi dari simpul) dari pengkodean kode panjang sebagai berikut. Jika w ∈ W memiliki label yang dikodekan oleh fungsi boolean f , pergi ke awan simpul dalam H yang sesuai dengan w , dan letakkan di S semua simpul di awan yang diberi label oleh beberapa xf( x ) = xσS∪ Tw ∈ WfHwSxf( x ) = 1T. Anda dapat melakukan mundur ini untuk menetapkan fungsi boolean untuk semua didasarkan pada potongan H .w ∈ WH
Agar pengurangan bekerja, Anda hanya perlu mengetahui dengan melihat nilai potongan S∪ T apakah fungsi boolean yang terkait dengan pemotongan dekat dengan kode panjang pengkodean dari beberapa penugasan label ke yang memenuhi banyak kendala UG dari G . Jadi pertanyaannya adalah apa informasi yang kita dapatkan dari nilai dari potongan S ∪ T . Pertimbangkan dua simpul a dengan label x di cloud yang bersesuaian dengan w dan b dengan label y di cloud yang bersesuaian dengan w ′WGS∪ TSebuahxwbyw′(dalam reduksi kita hanya melihat , w ′ di awan yang berbeda). Kami mengatakan bahwa cut dapat digunakan untuk fungsi boolean Turunkan f w dan f w ' . Sekarang jika ada tepi ( a , b ) di H , maka ( a , b ) dipotong jika dan hanya jika f w ( x ) ≠ f w ' ( y )ww′fwfw′( a , b )H( a , b )fw( x ) ≠ fw′( y). Oleh karena itu, hanya menggunakan nilai cut untuk mengetahui apakah fungsi boolean yang diinduksi adalah "baik" sama dengan memiliki tes itu, mengingat fungsi boolean f w ′ ( y ) .{ fw}w ∈ W, hanya menanyakan fraksi apa dari beberapa daftar pasangan tertentu kita memiliki f w ( x ) ≠( ( w , x ) , ( w′, y) )fw( x ) ≠ fw′( y)
Dengan kata lain, setiap kali Ryan mengatakan dalam catatan "tes jika ", apa yang sebenarnya ia maksudkan adalah "dalam H , tambahkan tepi antara titik di awan dari w yang dilabeli oleh x dan titik di awan w ′ dilabeli oleh y ". Yaitu untuk setiap v ∈ V , setiap dua tetangganya w , w ′ , dan setiap x , y ∈ { - 1 , 1 }fw( x ) ≠ fw′( y)Hwxw′yv ∈ Vb , b′ , termasuk tepi antara simpul di awan w yang diberi label xx , y∈ { - 1 , 1 }nw dan simpul di awan w ′ dilabeli oleh y ∘ π v , w ′ , dan tetapkan bobot tepi ( ( 1 - ρ ) / 2 ) d ( ( 1 + ρ ) / 2 ) nx ∘ πv , bw′y∘ πv , b′ manadadalah jarak Hamming antarax( ( 1 - ρ ) / 2 )d( ( 1 + ρ ) / 2 )n - ddxdan . Dengan cara ini nilai potongan dibagi dengan berat tepi total persis sama dengan probabilitas keberhasilan tes.y