Hasil Lipton yang paling berpengaruh

30

Richard J. Lipton telah terpilih sebagai pemenang Hadiah Knuth 2014 "untuk Pengenalan Gagasan dan Teknik Baru".

Menurut Anda, apa ide dan teknik baru utama yang dikembangkan Lipton?

Catatan. Pertanyaan ini akan menjadi wiki komunitas, harap cantumkan satu ide, teknik, atau hasil per jawaban.

big-list

— Bruno
sumber

11

Selamat kepada Richard J.Lipton! :-)

— Marzio De Biasi

Blog RJLipton (~ berusia 5 tahun) dengan tautan ke buku / risetnya, dll

— vzn

1

Akan lebih baik jika seseorang menulis sesuatu tentang kompleksitas komunikasi multipartai dan nomor pada model dahi. Saya tidak punya waktu saat ini.

— Sasho Nikolov

Berikut tautan ke Kuliah Hadiah Knuth: techtalks.tv/talks/…

— Michael Wehar

1

Ada dua makalah belum disebutkan di sini bahwa keduanya memiliki lebih dari 500 kutipan di Google Scholar: scholar.google.com/... (Aleliunas et al, pada L vs NL, kertas kompleksitas penting.) Dan scholar.google.com/... (De Millo et al., Tentang mengapa pengujian mungkin lebih baik daripada bukti formal tentang kebenaran program - kontroversial!)

— András Salamon

34

The Planar Separator Teorema menyatakan bahwa dalam planar setiap -vertex graph terdapat satu set $n$ $G$ simpul-simpul yang pengangkatannya membuat grafik terputus menjadi setidaknya dua komponen yang kira-kira seimbang. Selain itu, himpunan tersebut dapat ditemukan dalam waktu linier. Hasil (ketat) ini,dibuktikan oleh Lipton dan Tarjan(meningkatkan hasil sebelumnya oleh Ungar) adalah alat yang kuat untuk merancang algoritma pada grafik planar. Ini memberikan banyak algoritma waktu subeksponensial yang tepat untuk masalah NP-hard dan meningkatkan algoritma perkiraan waktu polinomial. Melihathalaman wikipediamemberikan tempat awal yang baik untuk menjelajahi berbagai aplikasi. Sebuahsurvei awaldengan rincian sejumlah aplikasi ditulis oleh Lipton dan Tarjan pada 1980. $O(\sqrt{n})$

— Sasho Nikolov
sumber

2

Hampir semua algoritma tersebut didasarkan pada teknik dekomposisi bukan pemisah planar. Juga ada banyak variasi bukti dari teorema pemisah itu, kita harus mengucapkan terima kasih kepada semua penemu bukti tersebut. Dalam cara Anda berbicara tentang pemisah kita harus mengucapkan terima kasih kepada orang yang menemukan nomor pertama (mereka bahkan tidak menemukan pemisah planar kecil pada awalnya, mereka hanya meningkatkan yang lama). Perhatikan bahwa dalam dekomposisi kita membutuhkan pemisah yang lebih khusus. Teknik dekomposisi sebagian besar diperoleh oleh karya Robertson dan Seymour, yang biasanya bekerja bahkan pada anak di bawah umur yang dikecualikan.

— Saeed

14

@Seed seperti biasa, Anda terdengar sangat agresif. Ini adalah komunitas wiki, jangan ragu untuk meningkatkan jawabannya sesuai keinginan Anda. Saya menambahkan bahwa mereka tidak menemukan pemisah planar kecil. Sejauh yang saya ketahui, untuk setiap aplikasi yang saya sebutkan ada contoh yang bekerja melalui teorema pemisah planar (dan sejumlah contoh dapat ditemukan dalam survei 1980 oleh Lipton dan Tarjan). Ini tidak berarti alat lain tidak diperlukan atau metode lain tidak ada. Makalah Lipton dan Tarjan mendahului hasil Alon, Robertson, dan Seymour lebih dari 10 tahun.

— Sasho Nikolov

3

@Seed juga saya tidak percaya Anda akan menyarankan dengan wajah lurus bahwa teorema pemisah planar tidak memainkan peran yang lebih substansial dalam aplikasi ini daripada pembangunan bilangan alami. Ini konyol!

— Sasho Nikolov

9

Bagaimanapun, mari kita coba untuk menjadi lebih konstruktif. Graph Minors I berasal dari tahun 1983, dan merupakan makalah pertama Robertson dan Seymour, jadi saya tidak mengerti maksud Anda di sana. Bagaimanapun saya tidak menyangkal ide-ide ini ada sebelumnya: hasil Ungar adalah dari tahun 1950-an. Intinya, membuktikan ikatan ketat adalah hasil tengara, dan ada sejumlah algoritma tepat dan perkiraan yang hanya membutuhkan teorema Lipton dan Tarjan atau dekomposisi yang menggunakannya sebagai kotak hitam. Survei tahun 1980 sudah memberikan beberapa contoh (yang mendahului Graph Anak Kecil I).

— Sasho Nikolov

3

Hasilnya sangat bagus (seperti banyak hasil bagus lainnya) tetapi kata-kata dari jawaban ini sedemikian rupa sehingga terlalu berlebihan. misal pemisah Planar sebenarnya bukan alat utama untuk menangani masalah yang sulit dalam grafik planar, setidaknya saat ini, Ketika ada banyak teknik penguraian untuk skenario yang lebih umum. Saya juga ingin menekankan bahwa pekerjaan mereka hebat tetapi tidak terlalu bagus bahkan di waktu mereka (+ -5 y). Semua yang saya katakan dalam dua komentar ini hanya mengulangi kata-kata saya sebelumnya hanya karena Anda dan setidaknya 4 orang lain suka melakukan serangan pribadi.

— Saeed

26

Karp-Lipton Teorema menyatakan bahwa tidak dapat memiliki polinomial-ukuran sirkuit boolean kecuali hirarki Polinomial runtuh ke level kedua. $\mathsf{NP}$

Dua implikasi teorema ini untuk teori kompleksitas:

mungkin tidak memiliki polinomial-ukuran boolean sirkuit; membuktikan batas bawah pada ukuran sirkuit karena itu merupakan pendekatan yang mungkin untuk memisahkan kelas kompleksitas. $\mathsf{NP}$
Beberapa hasil didasarkan pada teorema ini untuk membuktikan pemisahan kelas kompleksitas (misalnya Teorema Kannan).

— Bruno
sumber

23

Reducibilitas Diri Acak dari Permanen . Lipton menunjukkan bahwa jika ada suatu algoritma yang dengan benar menghitung permanen fraksi dari semua , di mana adalah bidang ukuran terbatas setidaknya , maka algoritma ini dapat digunakan sebagai kotak hitam untuk menghitung permanen dari setiap matriks dengan probabilitas tinggi. $1-1/(3n)$ $\mathbb{F}^{n\times n}$ $\mathbb{F}$ $3n$

Gagasan utamanya adalah bahwa permanen adalah polinomial derajat rendah, sehingga komposisinya dengan fungsi affine univariat adalah polinomial univariat derajat rendah (dalam ) dan dapat dipelajari secara tepat dari sejumlah kecil nilai melalui interpolasi . Anda dapat memilih acak sehingga komposisi didistribusikan sebagai permanen dari matriks acak untuk setiap . Pada polinomial univariat hanyalah permanen . Rinciannya dapat ditemukan di Bab 8 Arora Barak . $A + xB$ $x$ $B$ $x$ $x = 0$ $A$

Pendekatan aljabar ini sangat berpengaruh dalam teori kompleksitas. Ide-ide Lipton akhirnya mengarah pada bukti teorema IP = PSPACE, bukti teorema PCP, dan hasil pada kode koreksi kesalahan lokal.

— Sasho Nikolov
sumber

16

Saya tidak 100% yakin apakah penjelasan di bawah ini secara historis akurat. Jika tidak, silakan mengedit atau menghapus.

Pengujian mutasi ditemukan oleh Lipton. Pengujian mutasi dapat dilihat sebagai cara untuk mengukur kualitas atau efektivitas suite uji. Gagasan utamanya adalah menyuntikkan kesalahan ke dalam program yang akan diuji (yaitu untuk memutasi program), lebih disukai jenis kesalahan yang mungkin dilakukan oleh programmer manusia, dan melihat apakah rangkaian uji menemukan kesalahan yang diperkenalkan. Contoh khas dari jenis pengujian mutasi kesalahan akan memperkenalkan bisa mengganti x> 0 dengan x <0, atau mengganti x dengan x + 1 atau x-1. Pecahan kesalahan yang ditangkap oleh test suite adalah "skor kecukupan mutasi" dari test suite. Berbicara dengan sangat longgar, orang dapat menganggap ini sebagai metode Monte-Carlo untuk menghitung skor kecukupan mutasi.

Secara lebih abstrak orang dapat mengatakan bahwa pengujian mutasi membawa ke depan sebuah simetri atau dualitas antara suatu program dan rangkaian pengujiannya: tidak hanya rangkaian uji dapat digunakan untuk menjadi lebih percaya diri tentang kebenaran suatu program, tetapi sebaliknya, suatu program dapat digunakan untuk mendapatkan kepercayaan tentang kualitas test suite.

Dalam terang dualitas ini, pengujian mutasi juga secara konseptual dekat dengan injeksi kesalahan . Keduanya secara teknis serupa tetapi memiliki tujuan yang berbeda. Pengujian mutasi bertujuan untuk mengukur kualitas suite pengujian, sementara injeksi kesalahan berupaya untuk menetapkan kualitas program, biasanya kualitas penanganan kesalahannya.

Baru-baru ini, ide dari pengujian mutasi telah digunakan untuk menguji (formalisasi) teori logis. Mengutip abstrak (4): Ketika mengembangkan formalisasi non-sepele dalam teorema teorema, sejumlah besar waktu dikhususkan untuk "men-debug" spesifikasi dan teorema. Biasanya, spesifikasi atau teorema yang salah ditemukan selama upaya pembuktian yang gagal. Ini adalah bentuk debugging yang mahal. Oleh karena itu sering berguna untuk menguji dugaan sebelum memulai suatu bukti. Cara yang mungkin untuk melakukan ini adalah dengan menetapkan nilai acak ke variabel bebas dari dugaan dan kemudian mengevaluasinya. (4) menggunakan mutasi untuk menguji kualitas generator kasus uji yang digunakan.

Sejarah . Dari (1): Sejarah pengujian mutasi dapat ditelusuri kembali ke tahun 1971 dalam sebuah makalah mahasiswa oleh Richard Lipton [...] Kelahiran bidang ini juga dapat diidentifikasi dalam makalah lain yang diterbitkan pada akhir tahun 1970 oleh Lipton et al. (2) serta Hamlet (3).

— Martin Berger
sumber

15

Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma adalah alat mendasar dalam kompleksitas aritmatika: Pada dasarnya menyatakan bahwa jika Anda ingin tahu apakah rangkaian aritmatika mewakili nol polinomial, yang Anda butuhkan hanyalah mengevaluasi rangkaian pada satu input. Maka Anda akan mendapatkan nilai bukan nol dengan probabilitas baik jika rangkaian tidak mewakili nol polinomial.

Ini adalah lemma yang sangat penting karena tidak ada algoritma deterministik waktu polinomial yang diketahui untuk masalah ini.

Lemma biasanya dikenal sebagai Schwartz-Zippel Lemma . Sejarah lemma ini dapat ditemukan di blog Lipton sendiri .

— Bruno
sumber

4

Seperti yang ditunjukkan dalam komentar yang terkubur di bagian bawah posting blog itu, ada baiknya menyebutkan bahwa kasus khusus penting dari lemma ini kembali ke setidaknya 1922, ketika itu dibuktikan oleh Bijih (lihat "Bidang Terbatas" oleh Lidl dan Niederreiter, Teorema 6.13 dan catatan bab).

— Ashley Montanaro

13

Cakupan dalam sistem penambahan vektor adalah EXPSPACE-hard : dalam RJ Lipton, Masalah keterjangkauan membutuhkan ruang eksponensial , laporan penelitian 63, Universitas Yale, 1976.

$d$ $\langle v_0,A\rangle$ $v_0$ $\mathbb{N}^d$ $A$ $\mathbb{Z}^d$ $\mathbb{N}^d$ $v\to v'$ $u$ $A$ $v'=v+u$ $v'$ $v$ $\mathbb{N}^d$ $v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$ $v_n\geq v$ $\mathbb{N}^d$ $v_n(i)\geq v(i)$ $1\leq i\leq d$ . Dikombinasikan dengan batas atas EXPSPACE yang dibuktikan oleh C. Rackoff pada tahun 1978 , hasil Lipton menunjukkan kelengkapan untuk EXPSPACE.

$v_n=v$

— Sylvain
sumber

5

Kompleksitas komunikasi multipartai dan model Number-on-Forehead diperkenalkan oleh Ashok K. Chandra , Merrick L. Furst dan Richard J. Lipton dalam Protokol Multi-partai , STOC 1983, doi: 10.1145 / 800061.808737 .

Model multipartai adalah perpanjangan alami dari model kompleksitas komunikasi dua pihak Yao , di mana Alice dan Bob masing-masing memiliki bagian bit input yang tidak tumpang tindih, dan ingin berkomunikasi untuk menghitung fungsi yang telah ditentukan dari seluruh input. Namun, memperluas partisi bit input ke lebih banyak pihak seringkali tidak terlalu menarik (untuk batas bawah, orang biasanya hanya dapat mempertimbangkan dua pihak pertama).

$k$ $k$ $n$

$n$

$N$ $k$ $N$ $k=3$ $N$ $O(\sqrt{\log N})$ $N \le k(2^n-1)$ $O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$

— András Salamon
sumber

Terlihat sangat bagus, terima kasih telah menindaklanjuti saran saya.

— Sasho Nikolov