Apakah P sama dengan persimpangan semua kelas waktu superpolinomial?

Mari kita memanggil fungsi superpolinomial jika ditahan untuk setiap . $f(n)$ $\lim_{n\rightarrow\infty} n^c/f(n)=0$ $c>0$

Jelaslah bahwa untuk bahasa apa pun $L\in {\mathsf P}$ ia berpendapat bahwa $L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ untuk setiap batas waktu superpolinomial yang terikat $f(n)$ . Saya bertanya-tanya, apakah kebalikan dari pernyataan ini juga benar? Yaitu, jika kita tahu $L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ untuk setiap superpolinomial terikat waktu $f(n)$ , apakah itu menyiratkan $L\in {\mathsf P}$ ? Dengan kata lain, apakah benar bahwa

P = \cap_{f} D T I M E (f (n))

${\mathsf P} = \cap_f {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ mana persimpangan diambil alih setiap superpolinomial

f (n)

$f(n)$ .

cc.complexity-theory ds.algorithms complexity-classes

— Andras Farago
sumber

Saran umum tentang menulis pertanyaan adalah Anda harus mengajukan pertanyaan (dinyatakan dengan cara termudah untuk memahami) judul Anda.

— Kaveh

Iya nih.

Bahkan, oleh Teorema McCreight-Meyer Union (Teorema 5.5 dari McCreight and Meyer, 1969 , versi gratis di sini ) ~~akibat dari yang saya yakini disebabkan oleh Manuel Blum~~ , ada fungsi tunggal $f$ sehingga $\mathsf{P} = \mathsf{DTIME}(f(n))$ . Fungsi ini tentu superpolinomial, tetapi "hanya nyaris."

Teorema ini berlaku lebih umum untuk setiap ukuran kompleksitas Blum $\Phi$ dan kelas serikat apa pun $\bigcup_{f \in S} \mathsf{BLUM}_{\Phi}(f(n))$ mana $S$ adalah ce, self-bound set of total fungsi yang dapat dihitung. (Serangkaian fungsi $S$ adalah ce jika ada fungsi parsial tunggal yang dapat dihitung $F(i,\vec{x})$ sedemikian sehingga $S = \{f_i(\vec{x}) | i \in \mathbb{N}\}$ mana $f_i(\vec{x}) := F(i,\vec{x})$ . Self-bounded berarti bahwa untuk setiap subset hingga $S_0 \subset S$ , ada fungsi dalam $S$ yang mendominasi semua $g \in S_0$ hampir di mana-mana. " $\mathsf{BLUM}_{\Phi}$ "Adalah notasi yang belum pernah saya lihat sebelumnya, tetapi saya menyukainya :) - Saya menggunakannya untuk analog -terikat dari kelas kompleksitas terikat waktu.) $\Phi$

— Joshua Grochow
sumber

Saya pikir tangkapannya adalah bahwa tidak dapat dikonstruksi waktu.

f

$f$

— Sasho Nikolov

Josh, apakah hasil Manuel menggunakan sesuatu yang istimewa tentang waktu polinomial? Maksud saya apakah itu juga berlaku untuk kelas waktu yang sama?

— Kaveh

Saya menemukan fakta berikut yang menarik: sementara jelas tidak ada fungsi superpolynomial terkecil, namun ada kelas kompleksitas terkecil di antara mereka yang didefinisikan oleh batas waktu superpolynomial. Selain itu, kelas ini sama dengan P, di mana tidak ada yang superpolinomial.

— Andras Farago

@AndrasFarago: Memang menarik, tetapi (saya pikir) tidak asing dengan Teorema Gap Borodin-Trakhtenbrot ( en.wikipedia.org/wiki/Gap_theorem ).

— Joshua Grochow

@SashoNikolov: Saya harus berpikir lebih banyak tentang yang itu, tapi setelah satu saat berpikir saya pikir itu lebih berkaitan dengan fakta bahwa seseorang dapat mensimulasikan / mendiagonalisasi lebih dari TM, yang lebih berkaitan dengan sifat mereka yang dapat dihitung dan keberadaan mesin universal ... Khususnya, aksioma untuk ukuran kompleksitas Blum mensyaratkan bahwa berbagai fungsi yang menentukan ukuran Blum dapat dihitung atau sebagian dapat dihitung, dan ini adalah kunci dalam semua teorema ini. Dan perhatikan bahwa McCreight-Meyer membutuhkan set S itu sendiri untuk menjadi set fungsi, juga kunci.

— Joshua Grochow