Kompleksitas masalah terkait permutasi


13

Diberikan grup permutasi pada [ n ] = { 1 , , n } , dan dua vektor u , v Γ n di mana Γ adalah alfabet terbatas yang tidak cukup relevan di sini, pertanyaannya adalah apakah ada beberapa π G sedemikian rupa sehingga π ( u ) = v di mana π ( u ) berarti menerapkan permutasi π pada Anda dengan cara yang diharapkan.G[n]={1,,n}u,vΓnΓπGπ(u)=vπ(u)πu

Anggap lebih jauh bahwa diberikan, sebagai input, oleh himpunan S yang terbatas dari generator. Apa kerumitan masalahnya? Secara khusus, apakah itu dalam NP?GS


3
Apa yang Anda maksud dengan generator yang terbatas? Bagaimana itu diwakili dalam input?
RB

Saya pikir contohnya adalah: dua generator , S 2 = ( 1 3 ) ( 2 ) dan G adalah grup yang dihasilkan oleh S 1 dan S 2 . S1=(12)(3)S2=(13)(2)GS1S2
maomao

Secara umum masalah ini akan menjadi NP-hard (mungkin ini sudah dipelajari dalam beberapa referensi yang saya tidak sadari). Namun demikian, Masalah Solusi Lain (terkait dengan permainan sudoku juga), mungkin menarik bagi Anda
Nikos M.

Selain itu, ini adalah masalah terbalik (yang dapat didekati dengan cara MAXENT a-la Jaynes)
Nikos M.

Pertanyaannya bukan apakah itu NP-keras, tetapi apakah itu dalam NP. Batas atas sepele hanya PSPACE.
Emil Jeřábek mendukung Monica

Jawaban:


11

Misalkan mana S n adalah grup permutasi pada n elemen. Pengujian apakah g g 1 , ... , g k dapat dilakukan di NC P berdasarkan [1]. Biarkan u , v Γ n , maka cukup tebak g S n , tes dalam waktu polinomial apakah g Gg1,,gk,gSnSnngg1,,gkNCPu,vΓngSngGdan apakah . Ini menghasilkan NP batas atas.g(u)=vNP

Untuk melengkapi jawaban ini:

Keanggotaan grup terbukti milik (Furst et al. 1980), kemudian ke NC 3 untuk kelompok abelian (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), ke NC untuk kelompok nilpotent (Luks & McKenzie 1988), kelompok yang dapat dipecahkan (Luks & McKenzie 1988), kelompok dengan faktor komposisi non-abelian yang terbatas (Luks 1986), dan akhirnya semua kelompok (Babai et al. 1987). Klasifikasi kompleksitas serupa dari keanggotaan monoida aperiodik berutang kepada (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), yang menunjukkan bahwa keanggotaan untuk setiap varietas monoid aperiodik tetap adalah dalam AC 0 , P , NP , atau PSPACEPNC3NCAC0PNPPSPACE (dan selesaikan untuk kelas itu dengan sedikit pengecualian).

[1] L. Babai, EM Luks & A. Seress. Grup permutasi di NC. Proc Simposium ACM ke tentang Teori komputasi, hal. 409-420, 1987.19th


1
Jawaban saya salah, dan saya menghapusnya (subkelompok yang saya sebutkan N dalam jawaban saya tidak normal secara umum). Saya pikir masalahnya ada di P (dan mungkin juga di NC), tapi saya tidak punya bukti sekarang.
Tsuyoshi Ito

Saya tidak mengerti mengapa jawaban Anda salah. Permutasi memang dapat dibangun dengan mudah, maka keanggotaan grup tempat grup diberikan sebagai daftar generator ada di NC oleh Babai, Luks & Seress 87.π
Michael Blondin

1
Satu pilihan untuk π dapat dibangun dengan mudah, tetapi apa yang harus kita lakukan jika ini π bukan milik G? Mungkin ada cara untuk menemukan π yang benar dari awal, tetapi sekarang saya tidak melihat bagaimana melakukan ini.
Tsuyoshi Ito

Oh kamu benar Saya akan mengedit jawaban saya kembali ke batas atas NP.
Michael Blondin

Terima kasih atas hasil editnya, dan maaf telah menyebabkan kebingungan dengan jawaban saya yang salah.
Tsuyoshi Ito

10

Masalah Anda dikenal sebagai ( -) string G -isomorphism. Hal ini di kelas yang cukup sempit masalah di sekitar Grafik isomorfisma: itu setidaknya sekeras GI, dan di N Pc o A M .ΓGNPcoAM

Pengurangan dari GI: misalkan , dan biarkanGSNmenjadi aksi terinduksi dariSnpada pasangan.N=(n2)GSNSn

protokol: Arthur secara acak memilih unsur G (Saya tidak yakin ini bisa dilakukan persis seragam, tapi saya pikir algoritma yang dikenal cukup dekat untuk seragam untuk hasil ini) dan berlaku untuk kedua u dan v . Dengan probabilitas 1/2 ia menukar u dan v , lalu menyajikannya ke Merlin dan bertanya yang mana.coAMGuvuv


1
Menggabungkan komentar saya dengan jawaban Michael Blondin dengan jawaban Anda, sekarang saya takut bahwa saya secara tidak sengaja berkomitmen untuk berpikir bahwa GI ada di P (dan mungkin juga di NC).
Tsuyoshi Ito

-2

Terlepas dari komentar saya, saya juga akan menambahkan jawaban.

Dalam kasus dua vektro yang diberikan diketahui permutasi satu sama lain (dan permutasi diketahui / diasumsikan berada dalam kelompok diberikan ). Maka permutasi yang mengubah v u dapat ditemukan dalam waktu linier seperti:Gvu

  1. Sejajarkan 2 vektor satu di bawah yang lain

  2. Permutasi ditemukan dengan mulai dari elemen pertama dari yang ditransformasikan menjadi elemen pertama dari uvu

  3. Dapatkan posisi elemen pada langkah sebelumnya (dari ke v ) dan ulangi langkah (2), maka itu adalah elemen ke-2 dari permutasi dan seterusnya, sampai, semua elemen dilintasi.uv

Ketika apakah kedua vektor tidak diketahui secara positif permutasi satu sama lain (atau untuk kasus yang lebih umum di mana ada beberapa transformasi, seperti misalnya permainan sudoku), periksa Masalah Solusi Lain yang pada umumnya NP-hard. Ini membutuhkan untuk menggunakan beberapa transformasi simetri (misalnya permutasi) yang memenuhi kendala dari masalah yang diberikan untuk menghasilkan solusi lain dari masalah yang diberikan solusi awal.

Lebih jauh lagi ini adalah bagian dari masalah yang dikenal sebagai Masalah Invers (a-la Jaynes)


1
Tidak ada alasan mengapa permutasi menemukan cara ini harus dalam kelompok yang diberi . G
Emil Jeřábek mendukung Monica

@ EmilJeřábek, hmm, merindukan bagian ini, namun bagian jawaban ini mengasumsikan demikian (untuk ilustrasi ilustrasi dari algoritma linier), akan mengedit jawaban
Nikos M.

Memeriksa apakah ada beberapa pemetaan permutasi ke v (serta menghitung permutasi seperti itu), sepele: hitung saja berapa kali setiap simbol muncul di kedua kata. uv
Emil Jeřábek mendukung Monica

1
Jika bukan permutasi dari v , maka jawaban untuk instance tersebut adalah tidak, jika tidak permutasi tersebut π dapat dihitung dalam logspace. Namun, itu tidak memecahkan masalah sebagai π mungkin tidak di G . Dengan asumsi Anda saat ini, Anda menganggap setiap instance adalah instance ya, yang kemudian dapat diputuskan secara sepele dalam waktu yang konstan. Saya tidak yakin bagaimana Anda menjawab pertanyaan itu. uvππG
Michael Blondin

2
Anda tidak memberikan bukti untuk klaim bahwa masalahnya adalah NP-hard, atau bahwa itu ada hubungannya dengan ASP. Dengan jawaban Joshua Grochow, masalahnya bukan NP-hard kecuali hierarki polinomial runtuh ke tingkat kedua (AM = coAM, tepatnya).
Emil Jeřábek mendukung Monica
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.