Masalah NP-lengkap alami dengan saksi "besar"


28

Pertanyaan pada cstheory " Apa itu NP terbatas untuk saksi ukuran linier? " Bertanya tentang kelas NP terbatas pada saksi ukuran linear , tetapiO(n)O(n)

Apakah ada masalah NP-complete alami di mana (ya) contoh ukuran membutuhkan saksi ukuran lebih besar dari ?nnnn

Jelas kita dapat membangun masalah buatan seperti:

  • L={1nww encodes a satisfiable formula and |w|=n}L={1nww encodes a satisfiable formula and |w|=n}
  • L={φφ is SAT formula with more than |φ|2 satisfying assignments}L={φφ is SAT formula with more than |φ|2 satisfying assignments}

Setelah melihat sekilas pada G&J, setiap masalah NPC alami tampaknya memiliki saksi (secara ketat) lebih kecil dari .nn

Apakah ada "alasan / penjelasan" untuk itu?


1
Banyak masalah memiliki ukuran saksi , seperti graph isomorphism dan Hamiltonian path. Apakah Anda ingin mengecualikan faktor polylog, atau apakah itu dianggap sebagai jawaban? Θ ( n log n )Θ(nlogn)
Joshua Grochow

12
Sebenarnya, ukuran saksi untuk Graph Isomorphism dan Hamiltonian Path dapat dilihat sebagai sublinear pada input (mengingat bahwa inputnya adalah matriks adjacency dari grafik). n × nn×n
Ryan Williams

1
Oh, benar ... d'oh.
Joshua Grochow

1
@MarzioDeBiasi Saya pikir pengamatan Anda terhadap saksi kecil harus digunakan untuk mendefinisikan masalah NP-lengkap alami .
Mohammad Al-Turkistany

1
@MarzioDeBiasi - Saya setuju bahwa daftar tugas yang memuaskan sudah cukup, tetapi dapatkah Anda membuktikan bahwa tidak ada saksi yang lebih pendek untuk masalah ini? (mungkin cara ringkas untuk mewakili tugas yang diperlukan).
RB

Jawaban:


10

Bagaimana dengan angka pewarnaan tepi dalam grafik padat (alias indeks kromatik )? Anda diberi matriks adjacency dari grafik vertex ( input bit), tetapi saksi alami yang menggambarkan pewarnaan memiliki ukuran . Tentu saja, mungkin ada bukti yang lebih pendek untuk grafik kelas 1 dalam teorema Vizing .nnn2n2n2lognn2logn

Lihat juga pertanyaan yang mungkin terkait ini


2
Tampaknya ini contoh yang bagus! Hanya sebuah catatan: masalahnya adalah NP-lengkap bahkan untuk grafik kubik; dalam hal ini kita memiliki saksi ukuranbit sudah cukup (dua bit untuk setiap sisi) yang kurang dari jika kita menggunakan representasi matriks adjacency dan saya curiga bahwa itu kurang dari ukuran instance apa pun penyandian yang masuk akal yang kita gunakan untuk grafik kubik. 2|E|2|E|n2n2
Marzio De Biasi

8

Saya datang bersama beberapa masalah NP-lengkap yang cukup alami yang tampaknya membutuhkan saksi panjang. Masalahnya, yang diparameterisasi oleh integer dan adalah sebagai berikut:CCDD

Input: Satu-rekaman TM Pertanyaan: Apakah ada beberapa , sehingga membuat lebih dari langkah pada beberapa input panjang ?MM
nNnNMMCn+DCn+Dnn

Kadang-kadang komplemen dari masalah lebih mudah untuk dinyatakan: Apakah satu-tape TM berjalan dalam waktu , yaitu. apakah itu membuat langkah paling banyak pada semua input ukuran , untuk semua ?MMCn+DCn+DCn+DCn+Dnnnn

Hasil lengkapnya disajikan di sini . Pada dasarnya, ditunjukkan bahwa jika kita ingin memverifikasi apakah TM satu-pita berjalan dalam waktu , kita hanya perlu memverifikasi ini pada input panjang yang dibatasi oleh , di mana adalah angka keadaan input TM. Jadi saksi akan menjadi input dengan panjang yang batas waktunya dilanggar. Juga ditunjukkan dalam referensi bahwa masalah-masalah ini adalah NP-lengkap untuk semua dan .Cn+DCn+DqO(C)qO(C)qqqO(C)qO(C)C2C2D1D1

Sekarang jika saksi adalah input yang melanggar waktu berjalan, itu harus panjang secara umum. Dan inputnya panjang .qΩ(C)qΩ(C)O(q2)O(q2)


3
Terima kasih! Tapi, jujur ​​saja, saya menemukan lebih "alami" (saya tahu itu bukan konsep formal) masalahnya: "Diberikan formula φ , putuskan apakah memiliki setidaknya | φ | 2 tugas yang memuaskan" :-)φ|φ|2
Marzio De Biasi

Saya mengerti :). Di sisi lain, masalah tentang φ memiliki panjang saksi dalam pertanyaan, sementara masalah tentang TM mendapatkan panjang saksi dalam buktinya. Terlebih lagi, panjang saksi tidak secara sengaja dimasukkan ke dalam masalah. φ
David G

7

Berikut ini adalah contoh, yang muncul masalah alami.

Instance: bilangan bulat positif, d 1 , , d n dan k , semua dibatasi dari atas oleh n .d1,,dnkn

Pertanyaan: Apakah ada grafik k -colorable dengan deret derajat d 1 , , d n ?kd1,,dn

Di sini input dapat dideskripsikan dengan O ( n log n ) bit, tetapi saksi mungkin memerlukan Ω ( n 2 ) bit.O(nlogn)Ω(n2)

Catatan: Saya tidak memiliki referensi bahwa masalah khusus ini memang NP-lengkap. Tetapi persyaratan k- colorability dapat diganti dengan kondisi NP-complete lainnya; masalahnya mungkin akan menjadi NP-lengkap untuk beberapa kondisi, jika tidak untuk yang satu ini.k


Bagi saya, masalah ini memiliki jenis struktur yang salah menjadi NP-complete, kecuali P = NP. Kelas-kelas grafik yang didefinisikan oleh setiap deret derajat bisa sangat besar, dan banyak dari mereka mungkin memiliki elemen-elemen n -warna untuk alasan yang sepele. n
András Salamon

@ AndrásSalamon Memang, saya tidak tahu apa kerumitan masalah ini, atau apakah bisa dibuat NP-lengkap dengan memilih kondisi yang sesuai alih-alih k- colorability. Di sisi lain, saya akan terkejut jika untuk setiap properti yang dapat diperiksa polytime Q masalah berikut adalah di P : apakah ada grafik dengan urutan derajat yang diberikan, sehingga ia juga memiliki properti Q ? kQQ
Andras Farago

Saya setuju bahwa tampaknya tidak mungkin bahwa urutan + properti derajat selalu dalam P, tetapi mungkin beberapa di antaranya adalah kandidat untuk status perantara-NP?
András Salamon

@ AndrásSalamon Ya, saya dapat membayangkan bahwa beberapa dari mereka memiliki status NPI.
Andras Farago

6

Mungkin ini adalah "alasan / penjelasan" konyol, tetapi untuk banyak masalah NP-Complete, solusi adalah subset dari input (knapsack, vertex cover, klik, mendominasi set, set independen, max cut, jumlah subset, ... ) atau permutasi atau penugasan ke subset dari input (jalur Hamilton, salesman keliling, SAT, grafik isomorfisma, pewarnaan grafik, ...).

Kita bisa mencoba membaca lebih dalam dari itu, atau mengemukakan alasan yang lebih jelas, tetapi saya tidak yakin apakah ada sesuatu yang lebih dalam atau tidak.


Saya pikir ini memang "ide pertama" yang bagus. Terkadang masalah tidak dapat diklasifikasikan secara jelas. Sebagai contoh, SAT juga bisa menjadi masalah subset ("pilih subset dari variabel benar"). Atau apakah HAMCYCLE masalah permutasi pada simpul, atau masalah subset di tepi? (BTW, mungkin "masalah penugasan" benar-benar bisa menjadi "masalah partisi", pikirkan katakan 3-warna).
Juho


1

Pertimbangkan varian masalah MAXCLIQUE berikut .

Instance: Sirkuit C dengan bit input 2 n , dan ukuran terikat secara polinomi dalam n . Sirkuit ini secara implisit menentukan grafik pada simpul 2 n , sehingga setiap simpul diidentifikasi dengan string n- bit, dan dua simpul dihubungkan dengan tepi jika string 2 n- bit yang diperoleh dengan menggabungkan dua ID simpul, adalah diterima oleh C . Misalkan G ( C ) menunjukkan grafik ini. Catatan bahwa ia memiliki eksponensial banyak simpul di n , namun masih ditentukan oleh deskripsi ukuran polinomial C .C2nn2nn2nCG(C)nC

Pertanyaan: Apakah G ( C ) mengandung kelompok ukuran n k , di mana k adalah konstanta tetap?G(C)nkk

Catatan:

  1. Masalahnya adalah NP-complete. Penahanan di N P jelas. Kelengkapan dapat dibuktikan dengan mengamati bahwa jika rangkaian hanya menerima titik pasang di mana setiap ID paling banyak N = 2 n k , maka G ( C ) dapat menjadi sewenang-wenang N grafik -vertex plus banyak simpul terisolasi. ( Grafik N -vertex semacam itu dapat dikodekan dalam C , karena C diizinkan untuk memiliki ukuran polinomial dalam n , dan begitu juga dalam N. ) Kemudian pertanyaannya menjadi: apakah ada klik ukuran N / 2 pada NNPN=2nkG(C)NNCCnNN/2Ngrafik -vertex? Ini dikenal sebagai NP-lengkap, untuk N umum . Masalah yang N tidak sembarangan, itu dibatasi untuk N = 2 n k , dapat dihilangkan dengan bantalan yang tepat.NNN=2nk

  2. Saksi alami untuk masalah asli adalah n k -sized clique, yang dapat digambarkan oleh O ( n k + 1 ) string panjang (sebuah n tali-bit untuk masing-masing n k simpul). Perhatikan bahwa k dapat berupa konstanta yang sangat besar, sehingga saksi bisa lebih lama dari linear. (Bahkan jika ukuran input adalah deskripsi C , daripada n , saksi ini masih bisa lebih lama, karena k dapat dipilih secara independen dari C. )nkO(nk+1)nnkkCnkC

  3. Masalahnya dapat dilihat sebagai hal yang wajar, karena ini adalah varian dari MAXCLIQUE .

  4. Ketika Allender menulis "tidak ada masalah NP-lengkap alami yang diketahui berada di luar N T I M E ( n ) ," (lihat Memperkuat Batas Bawah dengan Cara Reducibilitas Diri , Bagian 7), ia mungkin memiliki konsep yang lebih sempit tentang kealamian dalam pikiran. Sebagai contoh, alami dapat dipersempit menjadi sesuatu yang orang benar - benar ingin pecahkan dengan alasan motivasi yang mandiri dan praktis. Tidak cukup jika masalahnya tidak dibangun melalui diagonalisasi.NTIME(n)


Saya tidak yakin saya mengikuti pengurangan Half-Clique Anda untuk masalah ini, untuk menetapkan kelengkapan dalam NP. Diberikan contoh n -vertex dari Half-Clique, sirkuit apa yang dipetakannya? n
András Salamon

@ AndrásSalamon Let G ' menjadi N = 2 n k -vertex grafik, menjabat sebagai grafik masukan dari Half-Clique. Maka C adalah sirkuit yang menerima pasangan simpul apa saja ( u , v ) , jika u N ,GN=2nkC(u,v)v N (sebagai angka biner), dan ( u , v ) E ( G ) , jika tidak maka C akan ditolak. ( C inidapat diimplementasikan sebagai sirkuit berukuran polinomial.) Kemudian G ( C ) akan berisi G pada N nodepertama, ditambah 2 n - N node terisolasi tambahan. Grafik G ( C ) memiliki sebuah klik dari ukuran n k tepatnya ketika G 'uN,vN(u,v)E(G)CCG(C)GN2nNG(C)nkGmemiliki setengah klik.
Andras Farago
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.