Dugaan Berdiri Lama belakangan terbukti dengan implikasi

Saya ingin tahu apakah ada dugaan yang sudah lama tidak terbukti dalam TCS, yang kemudian dibuktikan dengan implikasi dari teorema lain, yang mungkin lebih mudah untuk dibuktikan.

Erdös dan Pósa membuktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat dan setiap grafik G baik G memiliki k siklus terputus-putus atau ada seperangkat ukuran paling banyak pada f ( k ) simpul S ∈ G sehingga G ∖ S adalah hutan. (dalam buktinya f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) ).$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Properti Erdös dan Pósa dari grafik tetap dikenal sebagai berikut (bukan definisi formal):$H$

Kelas grafik mengakui properti Erdös-Pósa jika ada fungsi f sehingga untuk setiap grafik H ∈ C dan untuk setiap k ∈ Z dan untuk setiap grafik G baik ada k disjoint salinan isomorfik (wrt minor atau subdivisi) dari H dalam G atau ada satu set simpul S ∈ G , sedemikian rupa sehingga | S | ≤ f ( k ) dan G ∖ S tidak memiliki salinan isomorfik dari H .$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Setelah hasil Erdös dan Pósa untuk kelas siklus yang mengakui properti ini, pertanyaan terbuka untuk menemukan kelas tepat . Dalam grafik minor V membuktikan bahwa setiap graf planar memiliki lebar pohon yang dibatasi atau mengandung kisi-kisi besar sebagai minor, dengan memiliki teorema kisi-kisi di tangan mereka menunjukkan bahwa properti Erdös dan Pósa berlaku (untuk minor) jika dan hanya jika C adalah kelas grafik planar. Masalahnya masih terbuka untuk pembagian, meskipun. Tetapi bukti teorema wrt minor entah bagaimana sederhana dan sejauh pengetahuan saya tidak ada bukti tanpa menggunakan teorema grid.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Hasil terbaru untuk digraf , memberikan jawaban untuk pertanyaan terbuka lama di bidang yang sama untuk digraf. misalnya satu pertanyaan yang sangat mendasar adalah apakah ada fungsi sehingga untuk setiap grafik G dan bilangan bulat k , l , kita juga dapat menemukan kumpulan S ⊆ V ( G ) paling banyak dari f ( k + l ) simpul sedemikian rupa sehingga G - S tidak memiliki siklus panjang setidaknya l atau ada k siklus terpisah panjang setidaknya l dalam $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. Ini hanya kasus khusus tetapi untuk itu dikenal sebagai dugaan Younger. Sebelum itu dugaan Younger dibuktikan oleh Reed et al dengan pendekatan yang cukup rumit.$l=2$

Perlu disebutkan bahwa masih ada beberapa kasus yang cukup sepele dalam digraf. misalnya Teorema 5.6 dalam makalah di atas hanyalah perpanjangan positif dari dugaan anak muda ke kelas kecil dari digraf yang lemah, tetapi dengan pengetahuan dan alat matematika yang kita miliki itu tidak sepele (atau mungkin kita tidak tahu argumen sederhana untuk itu ). Mungkin dengan memberikan karakterisasi yang lebih baik untuk grafik tersebut, akan ada cara yang lebih mudah untuk membuktikannya.

judul pertanyaan mengacu pada "implikasi sepele" tetapi isinya tidak secara spesifik menentukan kriteria itu, jadi ini adalah sedikit pesan campuran. salah satu item setengah jadi / contoh yang mendekati tema umum adalah bukti dari ( dugaan ~ 4 dekade) Strong Graph Graph Conjecturepada tahun 2002 oleh Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, dan Robin Thomas. masalah kompleksitas algoritmik pengakuan grafik sempurna ternyata terkait erat / erat dengan mekanika pembuktian dugaan graf sempurna kuat, meskipun ini tidak sepenuhnya dipahami atau diketahui sebelum bukti dugaan. dengan kata lain ada dugaan terbuka informal bahwa "pengenalan grafik sempurna ada di P" (atau "kompleksitas rendah" dll) relatif cepat diselesaikan dengan membangun analisis / properti / mekanik teorema grafik sempurna kuat.

Algoritma polinomial untuk mengenali grafik sempurna Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003