Spesifikasi minimal dari teori tipe Martin-Löf

Saya membaca presentasi formal teori tipe Martin-Löfs (lampiran dari buku HoTT ). Para penulis memperkenalkan hierarki alam semesta, kemudian dan juga -types serta bilangan alami (secara induktif melalui dan ). Akhirnya mereka juga menambahkan tipe induktif yang lebih tinggi . $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ $W$ $\mathbb N$ $0$ $succ$

Tapi kemudian saya bertanya-tanya mengapa perlu dilakukan dalam spesifikasi teori. Bukankah dan dan tipe data aljabar , dalam inkarnasi memiliki type, cukup untuk mengaturnya? Misalnya dengan pendekatan aljabar awal . (Atau paling tidak setelah kita beralih dari MLTT ke HoTT memiliki tipe induktif - lagipula, bilangan bulat muncul sebagai grup homotopy tipe lingkaran dalam teori.) $\mathbb N$ ${\bf 1}$ $+$ $W$ $\mathbb Z$ $\mathbb S$

Atau apakah itu berkaitan dengan kebutuhan kita untuk memiliki rekursi primitif sejak awal, yang didefinisikan tepat di sebelah dalam presentasi? Ini adalah ide yang saya miliki karena saya tidak tahu bagaimana "definisi didefinisikan" dalam kerangka kerja itu, atau bagaimana memperluas bahasa bekerja secara formal. Saya dapat menambahkan bahwa saya mengakui bahwa setidaknya gagasan informal tentang angka dan "lebih besar" sudah digunakan ketika hierarki alam semesta didefinisikan. $\mathbb N$

Jika seseorang dapat menyimpan dan spesifikasinya tidak minimal, apakah ada item lain yang pada prinsipnya dapat dijatuhkan? Misalnya saya dapat membayangkan dan kemudian datang dari kombinasi , tetapi saya tidak dapat melakukannya. $\mathbb N$ $\bf 2$ $+$ $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

type-theory

— Nikolaj-K
sumber

Tujuan dari sistem yang dijelaskan dalam lampiran buku HoTT adalah untuk menyajikan sesuatu yang sesuai dengan apa yang digunakan oleh buku tersebut. Buku ini bertujuan untuk mendidik. Oleh karena itu akan menjadi ide yang buruk untuk melakukan semuanya dengan cara yang minimalis. Sebagai contoh, kami memperkenalkan secara terpisah karena ini merupakan instruksi untuk melihat bagaimana konstruksi induktif bekerja dalam kasus yang sudah dikenal. $\mathbb{N}$

Anda benar sekali, untuk memulai tipe induktif dari tipe- umum Anda hanya perlu dan . Anda segera mendapatkan sebagai , dan Anda mendapatkan dari dan . Setelah Anda memilikinya, Anda mendapatkan semua jumlah terbatas . Pada titik ini mudah untuk melakukan tipe data aljabar biasa. $W$ $0$ $2$ $1$ $0 \to 0$ $+$ $2$ $\Sigma$ $1 + 1 + \cdots + 1$

Jika Anda menjatuhkan , maka Anda mulai dari , , dan , maka Anda tidak bisa mendapatkan kembali karena setiap jenis yang Anda buat akan dihuni. $0$ $\Pi$ $\Sigma$ $1$ $2$ $0$

Misalkan Anda hanya memiliki , , dan . Maka Anda tidak bisa membuatnya $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ karena Anda dapat menunjukkan bahwa setiap konstruksi yang Anda buat memberi Anda kembali atau . Bahkan, Anda tidak dapat membuat keluarga tanggungan yang menarik sama sekali. Kelompok jenis yang lebih besar yang ditutup dengan , , dan , tetapi tidak mengandung adalah -tipe (proposisi). $2$ $0$ $1$ $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $(-1)$

— Andrej Bauer
sumber

Oke, terima kasih atas jawabannya. Saya kira

dimungkinkan dalam kerangka itu karena

1 \equiv (0 \to 0)

${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$

dimungkinkan per definisi

. Meskipun fungsi itu

yang tidak akan pernah mengambil argumen canggung.

(λ x . x) : (0 \to 0)

$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$

Π

$\Pi$

λ x . x

$\lambda x.x$

— Nikolaj-K

Mungkin bermanfaat untuk menambahkan bahwa huruf-

menyajikan beberapa peringatan teknis dalam teori yang disengaja: lihat misalnya Kesetaraan Pengamatan, Sekarang! . Beberapa (semua?) Dari ini tidak ada ketika aksioma Univalence hadir.

W

$W$

— cody

Saya berpikir lagi tentang pertanyaan ini hari ini. Sebenarnya, ketika kita berbicara tentang MLTT atau HOTT, kita juga memiliki kesetaraan untuk semua jenis, saya kira, sehingga kita bisa mendapatkan

dan

, kan?

0

${\bf 0}$

1 =_{U} 2

${\bf 1}=_U{\bf 2}$

— Nikolaj-K

Anda bisa mendapatkannya

seperti itu, tapi catatan bahwa

mengacu pada alam semesta

. Dan

begitu didefinisikan hidup, canggung, di alam semesta berikutnya.

0

$0$

1 =_{U} 2

$1 =_U 2$

U

$U$

0

$0$

— Andrej Bauer

Saya bingung dengan "Jika Anda menjatuhkan

, maka Anda mulai dari

0

$0$

Π

$\Pi$ ,

dan

, maka Anda tidak bisa mendapatkan

kembali karena setiap jenis yang Anda buat akan dihuni." Karena dimungkinkan untuk membangun tipe kosong dalam kalkulus konstruksi murni, yang hanya memiliki

Σ

$\Sigma$

1

$1$

2

$2$

0

$0$

Π

$\Pi$

— user833970