Apakah kompleksitas Kolmogorov fungsi surjektif?

Mari kita perbaiki penyandian mesin-Turing dan mesin-Turing universal, U, yang pada input (T, x) menghasilkan output T apa pun pada input x (mungkin keduanya berjalan selamanya). Tentukan kompleksitas Kolmogorov dari x, K (x), sebagai panjang dari program terpendek, p, sehingga U (p) = x.

Apakah ada N sehingga untuk semua n> N ada x dengan K (x) = n?

Ucapan. Jika kita mendefinisikan mesin Turing universal dengan cara yang berbeda, jawabannya bisa negatif. Sebagai contoh, perhatikan U yang pada input (T, x) mensimulasikan T pada x jika panjang (T, x) dapat dibagi dengan 100, dan jika tidak melakukan apa-apa. Satu dapat memodifikasi contoh ini dalam beberapa cara untuk mendapatkan contoh tandingan untuk definisi yang berbeda dari mesin Turing universal.

— domotorp
sumber

Jauh dari apa yang Anda minta, tapi saya pikir itu tidak sulit untuk membuktikan bahwa citra memiliki kepadatan linear positif terlepas dari . Ini menyiratkan misalnya bahwa sering kali komposit.

K

$K$

U

$U$

K (x)

$K(x)$

— Dan Brumleve

Hanya komentar yang diperluas tanpa wawasan mendalam: mungkin Anda dapat menyontek pada penyandian mesin Turing, dan membuat penyandian buatan yang mengarah pada kompleksitas Kolmogorov yang bersifat surjektif:

$0$ mewakili mesin Turing yang menghasilkan (1 state TM); $0$
$0p$ mewakili mesin Turing yang menghasilkan (angka yang diwakili oleh string biner plus satu); itu hanyalah sebuah versi "zip" implisit dari TM yang dapat memutuskan yang menghasilkan ; $p+1$ $p$ $p+1$
$1p$ mewakili mesin Turing dalam enumerasi standar (enumerasi dapat melewati TM yang sudah disertakan dengan dan ). $p+1$ $0$ $0p$

TM universal yang sesuai pada input memeriksa apa nilai , jika maka hanya output , jika tidak mensimulasikan TM ( ketika adalah string kosong); perhatikan bahwa menanamkan input. $bx$ $b$ $0$ $x+1$ $M_{x+1}$ $M_0$ $x$ $M_{x+1}$

Untuk semua string , ; dan untuk semua ada string panjang tetapi hanya ada program dengan panjang yang dapat direpresentasikan menggunakan pengkodean ; dan hanya program dengan panjang yang dapat direpresentasikan menggunakan pengodean ; jadi setidaknya string dengan panjang tidak dapat diwakili dengan program panjang ; tapi pasti bisa diwakili dengan program $x$ $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ $n \geq 1$ $2^{n}$ $n$ $2^{n-1}-1$ $< n$ $1p$ $2^{n}-1$ $n$ $1p$ $x'$ $n$ $1p$ $\leq n$ $0x'$ dengan panjang (kami tidak khawatir jika ada juga program dengan panjang yang sama yang menghasilkannya). $n+1$ $1p$ $n+1$

Kita dapat menyimpulkan bahwa untuk semua , ada string sedemikian rupa sehingga (jadi K khusus ini bersifat perkiraan). $n > 1$ $x', |x'|=n$ $K(x') = n+1$

— Marzio De Biasi
sumber