Apakah ada permainan sederhana dengan kompleksitas asimetris?

Pertimbangkan informasi lengkap permainan kombinatorial dua pemain yang berakhir setelah sejumlah polinomial gerakan, dan dengan cara bergantian, para pemain mengambil dari sejumlah terbatas gerakan yang diizinkan. Pertanyaan yang biasa adalah, seberapa sulit untuk mengetahui dari posisi yang diberikan pemenang. Yang lain adalah, betapa sulitnya untuk mengambil langkah kemenangan dari posisi menang. (Di sini saya sebut langkah menang, jika posisi tetap menang setelah memainkannya.) Untuk membedakan, saya akan memanggil POSISI-KOMPLEKSITAS sebelumnya dan yang belakangan MOVE-KOMPLEKSITAS.

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika MOVE-COMPLEXITY ada di atau , maka begitu juga POSISI-KOMPLEKSITAS - kita dapat menghitung gerakan optimal dan memeriksa siapa yang menang pada akhirnya. (Saya belum benar-benar memikirkan apa yang terjadi jika MOVE-KOMPLEKSITAS di , mungkin POSISI-KOMPLEKSITAS dalam sesuatu seperti .) Namun, ada contoh boneka ketika MOVE-KOMPLEKSITAS adalah sepele dan posisi-yang COMPLEXITY adalah arbitrary hard - seperti permainan (tidak terlalu menarik) untuk memeriksa apa output dari suatu algoritma, dengan para pemain membuat langkah selanjutnya, hanya diperbolehkan satu langkah. Saya telah sedikit menyimpang, pertanyaan utama saya adalah sebagai berikut. $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

Apakah ada permainan alami, di mana MOVE-COMPLEXITY dari dua pemain berbeda?

Misalnya, gim di mana pemain pertama mengambil nilai-nilai variabel CNF (yang mungkin tidak memiliki solusi), sementara gim kedua mencoba memecahkan teka-teki SOKO-BAN (yang mungkin tidak memiliki solusi), adalah contoh seperti itu.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
sumber

Saya sangat suka pertanyaan ini.

— Tayfun Bayar

Saya tidak tahu apakah permainan QBF memenuhi kondisi Anda, satu pemain adalah pemain eksistensial, yang lain adalah pemain universal. Banyak game yang bentuknya mirip. Saya pikir jika tidak ada ketergantungan antara pemain maka permainannya bukan permainan dua pemain tetapi jika ada ketergantungan di antara mereka maka (samar-samar berbicara) ada beberapa interpretasi yang mirip dengan gaya QBF.

— Saeed

Ini adalah komentar sampingan, tetapi sebagian besar permainan alami (dalam arti dimainkan di dunia nyata seperti catur, pergi, ...) tidak berakhir setelah jumlah polinomial gerakan, tetapi agak eksponensial (dalam kasus terburuk). Apakah Anda memiliki alasan khusus untuk menambahkan batasan ini, selain mendapatkan hubungan polinomial antara MOVE-COMPLEXITY dan POSITION-COMPLEXITY?

— Denis

Mungkin sekumpulan contoh dapat dibuat untuk merelaksasi kondisi kemenangan salah satu dari dua pemain: misalnya pertandingan catur di mana putih menang dengan skakmat standar dan hitam menang dengan skakmat atau menangkap ratu putih. Contoh lain adalah GG dengan node berwarna merah-biru, dan salah satu dari dua pemain dapat menang tidak hanya dengan cara standar, tetapi juga mengumpulkan sejumlah node merah. Saya akan memikirkan lebih lanjut tentang kemungkinan formalisasi contoh serupa.

— Marzio De Biasi

Jika permainan tidak memiliki hasil imbang (dan jumlah kemungkinan pergerakan yang cukup per putaran), apakah fakta berikut ini menyiratkan jawabannya adalah "tidak"? Suatu langkah akan menang jika dan hanya jika tidak ada respons lawan terhadapnya yang menang.

— usul

Jawaban:

Mungkin permainan yang cukup alami adalah sebagai berikut:

Pemain 1 ditempatkan di tengah-tengah labirin dan harus mencapai pintu keluar untuk menang.

Player 2 berada di labirin yang sama dan harus mengumpulkan satu set "komponen" untuk membangun pengontrol radio yang memungkinkannya menutup pintu keluar (dan menang).

$n$ $n$

Untuk membuat game lebih "interaktif", kami juga dapat menambahkan beberapa tindakan ekstra ke Player 2 yang hanya dapat menyebabkan perlambatan polinomial dalam perhitungan langkah selanjutnya untuk Player 1; misalnya membiarkannya memblokir sejumlah koridor labirin.

— Marzio De Biasi
sumber

$C$

Maka cukup untuk melihat beberapa game alami di mana POSISI-KOMPLEKSITAS asimetris. Kami akan selalu membutuhkan beberapa asimetri di antara para pemain untuk menciptakan situasi seperti itu, tapi semoga itu akan sealami mungkin.

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— Denis
sumber

Saya berpendapat bahwa "terbatas" berarti "konstan" di sini.

— Kyle

Faktanya, dalam permainan yang disebut Picker-Chooser atau Chooser-Picker, mudah untuk membuat contoh-contoh di mana strategi terbaik satu pemain adalah strategi pemasangan yang sederhana, sementara yang lain harus menyelesaikan 3-SAT pada CNF yang ditentukan sebelumnya, itu adalah masalah NP-complete.

Katakanlah, game Picker-Chooser adalah game asimetris pada hypergraph H = (V, E): Picker mengambil dua elemen V yang tidak dipilih, lalu Chooser mengambil salah satunya, dan mengembalikan yang lain ke Picker. Chooser menang jika dia mendapatkan semua elemen A dari E. Sekarang diberi formula CNF F dari 3-SAT, V adalah himpunan literal, dan E menyadari beberapa gadget. Secara keseluruhan, Pemilih harus selalu menawarkan x_i dan x_i meniadakan di semua langkah (jika tidak segera hilang), sedangkan pemilihan Pemilih adalah input 0-1 sewenang-wenang untuk x_i apa pun, dan ia menang dengan memuaskan F.

Lihat detailnya di: A. Csernenszky, R. Martin dan A. Pluhár, Tentang Kompleksitas Permainan Posisi Pemilih-Pemilih. Integer 11 (2011).

atau di: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
sumber