Apakah masalah isomorfisma semigroup invers terbatas hingga GI selesai?

Apakah masalah isomorfisma semigroup invers terbatas hingga GI selesai ? Di sini semigroup invers terbatas diasumsikan diberikan oleh tabel perkaliannya.

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Thomas Klimpel
sumber

Apakah ada alasan khusus untuk mempertimbangkan semigroup terbalik? Apa yang diketahui tentang kompleksitas masalah isomorfisma kelompok hingga dan masalah isomorfisma kelompok terbatas?

— J.-E.

@ J.-E.Pin Masalah isomorfisma semigroup terbatas adalah GI-complete, masalah isomorfisma grup hingga tidak dikenal sebagai GI-complete. Artikel wikipedia yang ditautkan dalam pertanyaan menyatakan bahwa isomorfisma "komutatif kelas 3 nilpoten (yaitu,

untuk setiap elemen

) semigroup" adalah GI-complete.

x y z = 0

$xyz=0$

x, y, z

$x,y,z$

— Thomas Klimpel

Semigroup nilpotent komutatif kelas 3 tidak dapat ditanamkan ke semigroup terbalik, menurut hasil lama oleh B. Schein, dikutip oleh Mark Sapir di sini . (Saya membaca sedikit di kertas yang dikutip, tetapi belum mengerjakannya dengan seksama "belum", mungkin saya harus.)

— Thomas Klimpel

Ya, masalah isomorfisme semigroup invers terbatas hingga GI selesai! Ini adalah akibat wajar dari

Teorema: Kisi isomorfisme adalah isomorfisme lengkap

dari bagian 7.2 Lattices and Poset in

Booth, Kellogg S .; Colbourn, CJ (1977), Masalah yang secara politis setara dengan grafik isomorfisme, Laporan Teknis CS-77-04, Departemen Ilmu Komputer, Universitas Waterloo.

karena kisi (semi-) juga merupakan semigroup terbalik (idempotent commutative).

Bukti teorema dari laporan teknis:

Itu sudah cukup untuk mewakili grafik secara unik sebagai kisi. Diberi grafik dengan simpul dan tepi , kami mendefinisikan kisi dengan elemen untuk setiap simpul, elemen untuk setiap tepi, dan dua elemen tambahan dan . Elemen mendominasi semua yang lain ( supremum ), dan elemen didominasi oleh semua elemen lain (yang paling ). Suatu tepi mendominasi dengan tepat simpul-simpul yang merupakan titik akhirnya. Hasilnya adalah kisi yang unik mewakili . $G$ $n$ $m$ $\text{'}0\text{'}$ $\text{'}1\text{'}$ $\text{'}1\text{'}$ $\text{'}0\text{'}$ $G$

Gagasan untuk jawaban ini berasal dari diskusi dengan vzn tentang pertanyaan yang cukup terfokus . Motivasi untuk menghabiskan waktu pada grafik isomorfisme sama sekali juga berasal dari dorongan berulang vzn. J.-E. Pin bertanya dalam komentar apakah ada alasan khusus untuk mempertimbangkan semigroup terbalik. Idenya adalah untuk memiliki struktur yang sedikit menggeneralisasi kelompok, yang merupakan GI lengkap. Saya ingin lebih memahami hubungan antara isomorfisme kelompok dan grafik isomorfisme, tetapi saya khawatir jawaban ini tidak memberikan wawasan semacam ini.

— Thomas Klimpel
sumber

Agak membingungkan, ada juga masalah isomorfisma kisi ini yang merupakan GI-hard tetapi tidak diketahui sebagai GI-complete: www2.mta.ac.il/ ~ishayhav

— Huck Bennett

@HuckBennett Apakah Anda benar-benar bingung, atau apakah Anda hanya ingin mendengar pendapat saya tentang teori kisi? Nama "kisi" sama sekali tidak beruntung : "G. Birkhoff juga memperkenalkan kata bahasa Inggris" kisi ", yang bukan terjemahan dari padanan bahasa Jermannya, tetapi diilhami oleh gambar beberapa diagram Hasse yang menyajikan kisi-kisi." Reputasi buruk teori kisi mungkin dapat dihindari dengan memecahnya menjadi logika aljabar, analisis konsep formal, dan teori keteraturan.

— Thomas Klimpel

"Apakah kamu benar-benar bingung, atau apakah kamu hanya ingin mendengar pendapatku tentang teori kisi?" Sebenarnya tidak. Saya pikir seseorang selain saya mungkin sudah akrab dengan definisi isomorfisme kisi dan bukan yang ini, dan bahwa tautannya mungkin membantu.

— Huck Bennett