Bagaimana kertas BosonSampling menghindari kelas mudah matriks kompleks?

Dalam kompleksitas komputasi optik linier ( ECCC TR10-170 ), Scott Aaronson dan Alex Arkhipov berpendapat bahwa jika komputer kuantum dapat disimulasikan secara efisien oleh komputer klasik maka hierarki polinomial runtuh ke tingkat ketiga. Masalah yang memotivasi adalah pengambilan sampel dari distribusi yang ditentukan oleh jaringan linear-optik; distribusi ini dapat dinyatakan sebagai permanen dari matriks tertentu. Dalam kasus klasik semua entri dari matriks adalah non-negatif, dan ada algoritma waktu polinomial probabilistik, seperti yang ditunjukkan oleh Mark Jerrum, Alistair Sinclair, dan Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738). Dalam kasus kuantum entri adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa dalam kasus umum (ketika entri tidak harus non-negatif) permanen tidak dapat didekati bahkan dalam faktor konstan, oleh hasil 1979 klasik Valiant.

Makalah ini mendefinisikan distribusi didefinisikan oleh matriks , dan masalah pengambilan sampel$D_A$$A$

Input BosonSampling : matrix Contoh: dari distribusi$A$
$D_A$

Menggunakan hasil kekerasan tampaknya menjadi bukti yang lemah untuk pemisahan antara dunia klasik dan kuantum, karena ada kemungkinan bahwa kelas matriks dalam pengaturan kuantum tertentu semua akan memiliki bentuk khusus. Mereka mungkin memiliki entri yang kompleks, tetapi mungkin masih memiliki banyak struktur. Oleh karena itu bisa ada prosedur pengambilan sampel yang efisien untuk matriks seperti itu, meskipun masalah umumnya adalah # P-hard.

Bagaimana cara penggunaan BosonSampling di koran menghindari kelas yang mudah?

Makalah ini menggunakan banyak latar belakang yang tidak saya miliki dalam kompleksitas kuantum. Mengingat semua orang kuantum di situs ini, saya akan sangat menghargai pointer ke arah yang benar. Bagaimana argumen akan bertahan jika seseorang menemukan bahwa kelas matriks bernilai kompleks yang terlihat dalam pengaturan eksperimental tertentu benar-benar sesuai dengan kelas distribusi yang mudah diambil sampelnya? Atau adakah sesuatu yang melekat dalam sistem kuantum yang menjamin ini tidak dapat terjadi?

Terima kasih atas pertanyaan anda! Ada dua jawaban, tergantung pada apakah Anda tertarik pada hasil kekerasan untuk BosonSampling yang tepat atau perkiraan .

Dalam kasus yang tepat, kita membuktikan bahwa diberikan setiap n-by-n kompleks matriks A, Anda dapat membangun sebuah percobaan optik yang menghasilkan output tertentu dengan probabilitas sebanding dengan | Per (A) | ² . Ini, pada gilirannya, menyiratkan bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial klasik yang dapat mengambil sampel dari distribusi yang sama persis dengan eksperimen optik (diberikan deskripsi percobaan sebagai input), kecuali P ^#P = BPP ^NP . Bahkan kita dapat memperkuat itu, untuk memberikan distribusi tunggal D _n (hanya bergantung pada panjang input n) yang dapat disampel menggunakan eksperimen optik ukuran poli (n), tetapi itu tidak dapat disampel secara klasik dalam poli (n). ) waktu kecuali P ^#P = BPP ^NP .

Dalam perkiraan kasus, situasinya lebih rumit. Hasil utama kami mengatakan bahwa, jika ada algoritma polinomial-waktu klasik yang mensimulasikan percobaan optik bahkan kira - kira (dalam arti pengambilan sampel dari distribusi probabilitas atas keluaran yang 1 / poli (n) - tutup dalam jarak variasi), maka dalam BPP ^NP , Anda dapat memperkirakan | Per (A) | ² , dengan probabilitas tinggi di atas matriks n-by-n A dari iid Gaussians dengan rata-rata 0 dan varian 1.

Kami menduga bahwa masalah di atas adalah # P-hard (paling tidak, bukan dalam BPP ^NP ), dan halaman 57-82 dari makalah kami semua tentang bukti untuk dugaan itu.

Tentu saja, mungkin dugaan kami salah, dan orang dapat benar-benar memberikan algoritma waktu-polar untuk memperkirakan permanen matriks iid Gaussian. Itu akan menjadi hasil yang fenomenal! Namun, inti dari 85% pekerjaan yang kami lakukan adalah mendasarkan semuanya pada dugaan kekerasan yang sebersih mungkin, sesederhana mungkin, dan "bebas-kuantum". Dengan kata lain, alih-alih asumsi

"kira-kira permanen dari beberapa matriks aneh, khusus yang muncul dalam percobaan kami adalah # P-hard,"

kami menunjukkan bahwa cukup membuat asumsi

"perkiraan permanen dari matriks Gaussian iid adalah # P-hard."