Sistem Penambahan Vektor dengan “rintangan” terbatas

Sistem Penambahan Vektor (VAS) adalah seperangkat tindakan terbatas . adalah himpunan tanda . Sebuah menjalankan adalah kata non-kosong tanda st . Jika ada kata seperti itu, kami katakan bahwa dapat dijangkau dari .N$A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$ ∀ i ∈ { 0 , … , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m $m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Masalah keterjangkauan untuk VAS diketahui dapat diputuskan (tetapi kompleksitasnya merupakan masalah terbuka).

Sekarang mari kita asumsikan bahwa sejumlah tanda terlarang ( hambatan ) terbatas diberikan. Saya ingin tahu apakah masalah keterjangkauan masih bisa diputuskan.

Secara intuitif, himpunan hambatan yang terbatas harus mengganggu jalur hanya secara lokal, sehingga masalahnya harus tetap dapat ditentukan. Tapi sepertinya tidak sepele untuk membuktikannya.

EDIT . Saya akan menyimpan jawaban @ Jérôme sebagai jawaban yang diterima, tetapi saya ingin menambahkan pertanyaan tindak lanjut: bagaimana jika himpunan tanda adalah ?$\mathbb{Z}^d$

Idenya didasarkan pada diskusi yang saya lakukan dengan Grégoire Sutre sore ini.

Masalahnya diputuskan sebagai berikut.

Petri net adalah himpunan pasangan hingga dalam disebut transisi. Diberikan transisi , kami menyatakan dengan relasi biner yang didefinisikan pada set konfigurasi oleh jika ada vektor sedemikian rupa sehingga dan . Kami menyatakan dengan hubungan satu langkah . Penutupan refleksif dan transitif dari relasi ini dilambangkan denganN d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T *$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Biarkan menjadi urutan parsial componentwise klasik atas dan didefinisikan oleh jika ada seperti itu itu . Penutupan ke atas dari set dari adalah set vektor . Penutupan ke bawah dari set adalah set vektor .N d → u ≤ → x → z ∈ N d → x = → u + → z → X N d ↑ → X { → v ∈ N d | ∃ → x ∈ → X$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Perhatikan bahwa jika untuk beberapa himpunan terbatas dari dan jika adalah jaring Petri, kita dapat menghitung jaring Petri baru sedemikian rupa sehingga untuk setiap konfigurasi , kami memiliki dan jika, dan hanya jika, . Bahkan, jika adalah transisi, maka untuk setiap , biarkan di mana adalah vektor di→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$ → z Nd → z (i)=maks{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ didefinisikan secara komponen oleh untuk setiap . Perhatikan bahwa memenuhi persyaratan.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Sekarang, asumsikan bahwa adalah jaring Petri, set rintangan. Kami memperkenalkan set hingga . Perhatikan bahwa kita dapat menghitung set dari secara efektif sehingga . Misalkan adalah relasi biner yang didefinisikan melalui oleh jika , atau ada sedemikian rupa sehingga→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Sekarang, perhatikan saja bahwa jika ada proses dari konfigurasi awal ke yang terakhir yang menghindari rintangan , maka ada yang menghindari rintangan di dan yang melewati konfigurasi di paling banyak kardinal dari set itu. Karenanya, masalahnya akan berkurang untuk memilih konfigurasi yang berbeda secara non-deterministik dalam , perbaiki sebagai konfigurasi awal , sebagai yang terakhir , dan periksa→ y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ untuk setiap . Masalah terakhir ini mereduksi ke pertanyaan jangkauan klasik untuk jaring Petri.$j$

Saya telah memikirkan pertanyaan Anda untuk sistem penambahan vektor dengan status (VASS) yang setara dengan VAS dan muncul dengan solusi ini. Sekarang, saya sudah membaca jawaban Jérôme yang bagus dan saya harus mengatakan bahwa jawaban saya sangat mirip, jadi tolong terima jawabannya meskipun Anda menganggap jawaban saya benar.

Ide: Dimungkinkan untuk mengubah VASS menjadi VASS yang melarang vektor lebih kecil atau sama dengan rintangan. Ini bukan apa yang kita inginkan, karena vektor lebih kecil tetapi tidak sama dengan rintangan diperbolehkan untuk dicapai. Namun, ada banyak vektor seperti itu. Hal ini memungkinkan penguraian minimal berjalan ke banyak berjalan lancar yang merupakan transisi dari atau setara dengan . Karena itu, ya , masalahnya bisa diputuskan.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Rincian: Misalkan menjadi -VASS, yaitu adalah terbatas berlabel grafik sehingga . Biarkan menjadi himpunan rintangan. Biarkan dan , kita menulis setiap kali adalah a lari dari untuk dengan setiap konfigurasi menengah di . Kami menunjukkand V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N d π ∈ T * X ⊆ N d p ( u ) π → X q ( v ) π p ( u ) q ( v ) Q × X ↓ X = { y : y $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Biarkan menjadi minimum seperti , yaitu run minimal yang menghindari rintangan. Kemudian, dengan prinsip lubang pigeon, dapat difaktorkan sebagai suatu run yang memasuki hanya berkali-kali. Secara lebih formal, ada , dan sedemikian rupap ( u ) π → N d ∖ O q ( v ) π ↓ O ∖ O t 1 , t ′ 1 … , t n + 1 , t ′ n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , … , π n + 1 ∈ T ∗ { p i ( $\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Oleh karena itu, cukup untuk menebak , dan konfigurasi perantara. Menguji apakah dapat dilakukan dengan mengubah menjadi yang baru -VASS mana setiap transisi digantikan oleh gadget transisi. Misalnya, jika maka transisi diganti sebagai berikut:t 1 , t ′ 1 , … , t n + 1 , t ′ n + 1 p ( x ) ∗ → N d ∖ ↓ O q ( y ) V d V ′ t ∈ T 4 | O | + 1 O = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , $n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$